2004 Fiscal Year Annual Research Report
アフィン量子群上のextremalウエイト加群のpath modelの研究
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14540006
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
内藤 聡 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 助教授 (60252160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
竹内 光弘 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (00015950)
森田 純 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (20166416)
宮本 雅彦 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 教授 (30125356)
佐垣 大輔 筑波大学, 大学院・数理物質科学研究科, 助手 (40344866)
斉藤 義久 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (20294522)
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| Keywords | 結晶基底 / アフィン量子群 / path model / extremalウエイト加群 / standard加群 |
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| Research Abstract |
柏原正樹氏は、(一般の)Kac-Moodyリー環gに付随する量子群U_q(g)上の可積分既約最高ウエイト表現の一般化として、整ウエイトλ∈Pをextremalウエイトとするextremalウエイト加群V(λ)を導入した。gがアフィン・リー環でλ∈Pが"レベル・ゼロ"である場合には、このextremalウエイト加群V(λ)の商加群として、アフィン量子群U^l_q(g)(=U_q([g,g]))の有限次元表現、特に、中島啓氏により代数幾何学的手法を通して導入されたstandard加群M(λ)が得られる。そしてこれは、V. ChariとA. Pressleyにより導入された量子Weyl加群W(λ)と同じものである事が分かっている。
本年度の研究において我々は、ウエイトλ∈Pが(レベル・ゼロの)基本ウエイトw_i,i∈I_O:=I＼{0},達の和Σ_<i∈I_O>m_iw_i(m_i∈Z_<【greater than or equal】O>)である場合に、型がλのLakshmibai-Seshadri path全体の成すcrystal B(λ)からnull root δを法(modulo)として得られる商crystal B(λ)_<cl>を考察した。そして、この商crystal B(λ)_<cl>が、実はB(w_i)_<cl>,i∈I_O,達のテンソル積【cross product】_<i∈I_O>(W_i)^<【cross product】m_i>_<cl>とcrystalとしては同型である事を示した。一方、これまでの我々の研究によって、各B(w_i)_<cl>,i∈I_O,は、アフィン量子群U^l_q(g)の(レベル・ゼロの)有限次元基本表現W(w_i)の結晶基底のpath modelとみなせる事が分かっている。これらの事から、B(λ)_<cl>がstandard加群M(λ)=W(λ)の結晶基底のpath modelとみなせる事が分かる。さらに、この結果を使って、standard加群M(λ)=W(λ)をアフィン・リー環gの標準的な(有限次元簡約)部分リー環g_<I_O>に付随する量子群U_q(G_<I_O>)(⊂U_q(g))に制限した時の分岐則を、gのWeyl群Wの元達とW上のBruhat orderを用いて組み合せ論的に記述する事が出来る。
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