有限簡約代数群の既約表現に付随するゼータ関数の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540042
• Research Institution: Sophia University
• Principal Investigator: 筱田 健一 上智大学, 理工学部, 教授 (20053712)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 五味 靖 上智大学, 理工学部, 助手 (50276515) ; 角皆 宏 上智大学, 理工学部, 講師 (20267412) ; 中島 俊樹 上智大学, 理工学部, 助教授 (60243193) ; 後藤 聡史 上智大学, 理工学部, 助手 (00286759) ; 都築 正男 上智大学, 理工学部, 助手 (80296946)
• Keywords: 有限簡約群 / 有限群の表現論 / Gelfand-Graev表現 / ゼータ関数 / ガウス和

Research Abstract

1.有限群Gの表現に付随するゼータ関数とその関数等式はT.A.Springer(1971)とI.G.Macdonald(1985)により考察された。この関数等式が重複度の無い誘導表現の自己準同型環Hの既約表現によっても満たされることを示した。さらに、その具体例と応用について研究をし次の結果を得た(C.W.Curtisと共同)。
(1)Gを有限簡約群としHがGelfand-Graev表現の自己準同型環の場合には関数等式に現われるε-因子はSaito-Shinodaにより研究されたガウス和である。このことを用い有限一般線型群の場合Hの単位元eのフーリエ変換e^^〜の明示式を得た。
(2)(1)と同じ状況でHのある自然基底の元に対し既約表現の値を考えると一般化されたクルースタマン和になることを示した。この事は一般化されたクルースタマン和のHasse-Davenport型の等式とHのノルム写像との間に密接な関係があることを示唆している。この解明をさらに進めたい。
(3)GをSp(4,q)とした場合に(2)と同じ問題を考え計算例を求めた。まだ統一的な記述に到っていない。
2.中島、古閑は量子群との関係から研究を進め、特に中島はDemazure加群の結晶基底を多面体表示で記述する等の結果を得た。
3.角皆、都築は整数論との関係から研究をした。角皆は1点抜き正種数曲線に関する外ガロア表現に付随する導分環の安定性について研究し、都築はセルバーグ・ガンゴリのゼータ関数について有理型であることとその関数等式について新しい証明を与えた(埼玉大 権と共同)。

Research Products

• [Publications] C.W.Curtis: "Zeta functions and functional equations associated with the components of the Gelfand-Graev representations of a finite reductive group"Advanced Studies in Pure Mathematics. (To appear).
• [Publications] T.Nakashima: "Polytopes for crystallized Demazure modules and extremal vectors"Communications in Algebra. 30. 1349-1367 (2002)
• [Publications] T.Nakashima: "Irreducible modules of finite dimensional quantum algebras of type A at roots of unity"J. of Mathematical Physics. 43. 2000-2014 (2002)
• [Publications] H.Tsunogai: "The stable derivation algebras for higher genera"Israel J. Mathematics. (To appear).
• [Publications] M.Kaneda: "On certain maximal cyclic modules for the quantized special linear algebras at a root of unity"Pacific J. of Mathematics. (To appear).
• [Publications] Y.Gon: "The resolvent trace formula for rank one Lie groups"Asian J. of Mathematics. 6. 227-252 (2002)