位相力学系におけるカオス写像と複雑な不変集合の連続体論的研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540060
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 加藤 久男 筑波大学, 数学系, 教授 (70152733)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 川村 一宏 筑波大学, 数学系, 助教授 (40204771) ; 酒井 克郎 筑波大学, 数学系, 助教授 (50036084) ; 保科 隆雄 筑波大学, 数学系, 教授 (00015893) ; 山崎 薫里 筑波大学, 数学系, 助手 (80301076) ; 金戸 武司 筑波大学, 数学系, 講師 (70107340)
• Keywords: カオス / エントロピー / スクランブル集合 / Bing map / 分割不可能性 / 拡大同相写像 / 極小集合 / Lelek写像

Research Abstract

カオス力学系理論で重要な拡大同相写像や、パイこね変換の数学的概念である連続体的拡大同相写像の不変集合、特に極小集合について研究を行った。本研究以前、Mane及び研究代表者によって拡大同相写像の極小集合は零次元であることが証明されていた。本研究では、更に1-次元空間上の連続体論的拡大同和写像は、カントール集合と同相になる極小集合を無限個許容することを証明した。特に、continuum-wise fully expansive homeomorphismについて、次元の制限なくカントール集合と同相になる極小集合が存在する。実際、この極小集合上の力学系は、カントール集合上のシフト写像と位相共役になっていることが証明される。これによって、条件付ではあるが(連続体的)拡大同相写像の周期性に関するカオス性の証明に成功したことになる。しかしながら、一般次元nの連続体的拡大同相写像に関する問題は依然として未解決である。また、フラクタル幾何学で重要な空間であるregular curve上のconfluent mapについて、そのエントロピーの計算公式を発見した。その系として、regular curve上のmonotone mapのエントロピーは零となることが分かる。従来の研究は同相写像に関するもので、この結果はより強力でかつ一般的な結果となっている。エントロピーの概念は、複雑さを表す量として力学系では極めて重要な概念である。更に、位相力学系に付随したトポロジーの研究では、コンパクト距離空間から多面体上へのBing map及びLelek mapが写像空間内で稠密に存在することを証明した。これらの結果は、Bing, Levin, Lelekの従来からの研究を更に一般化したものであり、位相力学系、次元論および連続体論への更なる応用が期待される。

Research Products

• [Publications] 加藤久男: "Infinite minimal sets of continuum-wise expansive homeomorphisms of 1-dimensional compacta"Topology and its applications. 130. 57-64 (2003)
• [Publications] 加藤久男: "On surjective Bing maps"Bull.Acad.Polon.Sci.Math.. (to appear).
• [Publications] 保科隆雄: "Relative normality and product spaces"Comment Math.Univ.Carolinae. 44. 515-524 (2003)
• [Publications] 酒井克郎: "The Space of Limits of continua in the Fell topology"Houston J.Math.. 29. 325-335 (2003)
• [Publications] 川村一宏: "Low dimensional homotopy groups of suspensions of the Hawaiian earring"Collog.Math.. 96. 27-39 (2003)
• [Publications] 山崎薫里: "Absolute weak C-embedding in Hausdorff spaces"Topology and its applications. 131. 273-279 (2003)