リーマン多様体の部分多様体の曲率構造と位相構造の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540085
• Research Institution: Saga University
• Principal Investigator: 成 慶明 佐賀大学, 理工学部, 教授 (50274577)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 河合 茂生 佐賀大学, 文化教育学部, 教授 (30186043) ; 石川 晋 佐賀大学, 理工学部, 教授 (10039258) ; 塩浜 勝博 佐賀大学, 理工学部, 教授 (20016059) ; 猿子 幸弘 佐賀大学, 理工学部, 講師 (00315178) ; 松添 博 佐賀大学, 理工学部, 助教授 (90315177)
• Keywords: mean curvature / Euclidean space / complete submanifolds / scalar curvature / Gauss-Kronecker curvature / radial curvature / maximal diameter theorem / differentiable sphere theorem

Research Abstract

研究代表者はEuclid空間内のある種の不等式を満たす平均曲率が一定の完備な部分多様を分類した。これにより,KlotzとOssermanの定理を任意な次元と任意な余次元に拡張した。よく知られているHadamardの定理とSackstederの定理によりEuclid空間内の局所的に凸でコンパクトな超曲面は微分球面である。Nashの定理により、Euclid空間内の高余次元のコンパクトな部分多様体の微分球面定理の研究はかなり難しいので,今まで良い結果が殆ど得られていないが、研究代表者は新しい研究方法を使って、Euclid空間内の任意な余次元のコンパクトな部分多様体は微分球面であるための十分条件を与えた。この方向の研究に対して大きな影響を与えたと思う。研究代表者は4次元双曲空間とEuclid空間内の完備な超曲面を研究し、完備な極小超曲面の具体的な例を構成した。さらに、このような完備な超曲面のスカラー曲率が下から有界であるならば、それのGauss-Kronecker曲率はゼロとなる。尚、4次元双曲空間とEuclid空間内のゼロquasi-Gauss-Kronecker曲率を持つ平均曲率が一定の完備な超曲面はtotally umbilicalであることを示した。研究分担者塩浜氏などは非コンパクト完備リーマン多様体をradial curvatureの条件下でコンパクト化して、極大直径球面定理を研究した。

Research Products

• [Publications] Katsuhiro Shiohama: "Compactification and maximal diameter theorem for noncomapct manifolds with radial curvature bounded below"Math. Z.. 241. 341-351 (2002)
• [Publications] Qing-Ming Cheng: "Spherical rigidities of submanifolds in Euclidean spaces"J. Math. Soc. Japan. 55. (2003)
• [Publications] Qing-Ming Cheng: "Erratum to Conformally flat 3-manifolds with constant scalar curvature"J. Math. Soc. Japan. 54. 997-1000 (2002)
• [Publications] Qing-Ming Cheng: "Complete hypersurfaces in a Euclidean space $R^{n+1}$ with constant scalar curvature"Indiana Univ. Math. J.. 51. 53-68 (2002)
• [Publications] Qing-Ming Cheng: "Submanifolds with constant scalar curvature"Proc. Royal Society Edinburgh. 132A. 1163-1183 (2002)