複雑な系における確率論と実解析学の接点

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540113
• Research Institution: KYOTO UNIVERSITY
• Principal Investigator: 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (90234509)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 重川 一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (00127234) ; 高橋 陽一郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20033889) ; 渡辺 信三 立命館大学, 理工学部, 教授 (90025297) ; 日野 正訓 京都大学, 情報学研究科, 助教授 (40303888) ; 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• Keywords: 複雑な系 / 熱核 / ナッシュ不等式 / 放物型ハルナック不等式 / ベソフ空間 / 飛躍型確率過程 / ソボレフ空間

Research Abstract

複雑な系における確率論と実解析学に関連して、本年度行った研究により得られた成果は以下の通りである。
1.Besov空間の理論の応用として、フラクタルを典型例として持つd-setと呼ばれるクラスの上に構成した飛躍型対称確率過程が、Triebel氏を初めとした関数空間の専門家が研究している作用素とどのような関係にあるかを調べた。
2.一般の有限分岐的フラクタルグラフにおいては、重複対数の法則のオーダーに空間方向の依存性があることを示した。この種のグラフにおいては、Harnack不等式はresistance距離と呼ばれる距離でコントロールできるが、熱核のoff-diagonal評価にはグラフ距離(geodesic)の情報が必要となり、resistance距離で等距離であってもグラフ距離では全く異なるオーダーとなることが起こりうるためである。
3.自己相似集合上の熱核の漸近挙動について研究し、測度がvolume doubling propertyを持つことと熱核の対角成分のある種の漸近評価と同値であることを示した。一般の測度-距離空間上のDirichlet形式から定義される熱核に対して、測度のvolume doubling propertyのもとでexit timeの評価とlocal Nash inequalityが熱核のある種の上からの評価と同値であることを示した。
4.無限次元空間上の関数空間についての一般論を展開した。まず、領域上で定義されたSobolev関数が全体空間に拡張できるかという問題に対して部分的な結果を得た。また、Rieszの表現定理を無限次元空間の場合に拡張し、その応用として抽象Wiener空間上のBV関数からなる関数空間に対して,Sobolev空間への埋め込みや、関数の測度値微分の滑らかさについての新たな性質を示した。

Research Products

• [Publications] Takashi Kumagai: "Heat kernel estimates for stable-like processes on d-sets"Stoch.Proc.Their Appl.. 108. 27-62 (2003)
• [Publications] Takashi Kumagai: "Diffusion processes on fractal fields and their large deviations"Probab.Theory Relat.Fields. 127. 305-352 (2003)
• [Publications] Takashi Kumagai: "Heat kernel estimates for symmetric random walks on a class of fractal graphs and stability under rough isometries"Proc.of Symposia in Pure Math.. (発表予定).
• [Publications] Takashi Kumagai: "Homogenization on Finitely Ramified Fractals"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [Publications] Takashi Kumagai: "Heat Kernel Estimates and Law of the Iterated Logarithm for Symmetric Random Walks on Fractal Graphs"Contemporary Mathematics. (発表予定).
• [Publications] Takashi Kumagai: "Function spaces and stochastic processes on fractals"Progr.Probab., Birkhauser. (発表予定).
• [Publications] Shinzo Watanabe: "On Spectra of noises associated with Harris flows"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [Publications] Yoichiro Takahashi: "Random point fields associated with certain Fredholm determinants. II. Fermion shifts and their ergodic and Gibbs properties"Ann.Probab.. 31. 1533-1564 (2003)
• [Publications] Yoichiro Takahashi: "Random point fields associated with certain Fredholm determinants I : fermion, Poisson and boson point processes"Journal of Functional Analysis. 205. 414-463 (2003)
• [Publications] Yoichiro Takahashi: "Random point fields associated with fermion, boson and other statistics"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [Publications] Ichiro Shigekawa: "Vanishing theorem of the Hodge-Kodaira operator for differential forms on a convex domain of the Wiener space"Infin.Dimens.Anal.Quantum Probab.Relat.Top.. 6. 53-63 (2003)
• [Publications] Ichiro Shigekawa: "Orlicz norm equivalence for the Ornstein-Uhlenbeck operator"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [Publications] Jun Kigami: "Harmonic analysis for resistance forms"Journal of Functional Analysis. 204. 399-444 (2003)
• [Publications] Jun Kigami: "Local Nash inequality and inhomogeneity of heat kernels"Proc.London Math.Soc.. (発表予定).
• [Publications] Masanori Hino: "On Dirichlet spaces over convex sets in infinite dimensions"Contemporary Mathematics, AMS. 317. 143-156 (2003)
• [Publications] Masanori Hino: "Small-time Gaussian behavior of symmetric diffusion semigroups"Ann.Probab.. 31. 1254-1295 (2003)
• [Publications] Masanori Hino: "Integral representation of linear functionals on vector lattices and its application to BV functions on Wiener space"Advanced Studies in Pure Math.. (発表予定).
• [Publications] 熊谷 隆: "確率論"共立出版. 207 (2003)