巨大基数公理と関連するPκλ上のイデアルと無限組み合わせ論

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540142
• Research Institution: Kanagawa University
• Principal Investigator: 阿部 吉弘 神奈川大学, 工学部, 教授 (10159452)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 渕野 昌 中部大学, 工学部, 教授 (30292098) ; 塩谷 真弘 筑波大学, 数学系, 講師 (30251028) ; 加茂 静夫 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (30128764)
• Keywords: P_κλ / ineffability / partition property / club filter / stationary reflection / forcing / weak Freese-Nation Property / precipitous

Research Abstract

(1)P_κλのineffabilityとpartition propertyに関して,λのcofinalityがκ未満の場合に条件つきではあるが重大な進展があった.λ^<<κ>=2^λのとき以下が成り立つ:
(a)X⊂P_κλがalmost ineffableであることとineffableであることは同値である.
(b)κがλineffableであることからは,κがλ^<<κ>ineffableであることは導かれない.
(c)P_κλ上のunboundedでない集合族の成すイデアルはpartition propertyをもたない.
(2)Club filterに関しては,超コンパクト基数をLevy collapseして得られる標準的なジェネリックモデルで成り立つ性質が,stationary reflectionから導かれることが示された.
(a)P_κλでσ stationary reflectionが成り立ちλ^<2^<2<κ>>=λならば,P_κκ上のσclub filterはprecipitousである.
(b)P_<ω1>λでκ stationary reflectionが成り立ちλ^<2κ>=λならば,κ上のclub filterは弱いcovering propertyをもつ.
(c)P_<ω1>λでκ stationary reflectionが成り立ちλ^<κ^+>=λかつ2^ω<κ<2^<ω_1>=2^<<κ>ならば,P_κκ~+は2^<ω_1>個のstationary setsに分割される.
(3)実数の部分集合族の組み合わせ論に関しては,random realが付加されない強制法でσ-linkedと類似したものが考案された.
(4)ブール代数の組み合わせ論と強制法に関しては,SEPというweak Freese-Nation Propertyより弱いprincipleに関して次のような結果が得られた:
(a)P(ω)についてSEPが成り立てば,non-meagerな集合の最小サイズはN_1である.さらにω_1に関するsuquare principleを仮定すれば,P(ω)のalmost disjoint familyの最小サイズもN_1になる.これらは,weak Freese-Nation Propertyから導かれることが知られていた.
(b)Cohen realを付加する強制法によるジェネリックモデルでは,P(ω)についてSEPが成り立つ.

Research Products

• [Publications] Yoshihiro Abe: "Variants of subtlety in P_κλ"数理解析研究所講究録. 1304. 47-66 (2003)
• [Publications] Shizuo Kamo: "Cardinal invariants associated with some combinatorial statements"数理解析研究所講究録. 1304. 78-87 (2003)
• [Publications] Masahiro Shioya: "Generating the club filter on P_κλ"Topology and its Applications. 122・1-2. 415-419 (2002)
• [Publications] Masahiro Shioya: "Partitioning pairs of uncountable sets"Proceedings of Logic Colloquium 2000. (to appear).
• [Publications] Masahiro Shioya: "A saturated stationary subset of P_κκ^+"Mathematical Research Letters. (to appear).
• [Publications] Sakae Fuchino: "On Kunen's theorem concerning projective absoluteness"中央大学工学部紀要. 38. 35-44 (2002)