巨大基数公理と関連するPκλ上のイデアルと無限組み合わせ論

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540142
• Research Institution: Kanagawa University
• Principal Investigator: 阿部 吉弘 神奈川大学, 工学部, 教授 (10159452)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 渕野 昌 中部大学, 工学部, 教授 (30292098) ; 塩谷 真弘 筑波大学, 数学系, 講師 (30251028) ; 加茂 静夫 大阪府立大学, 総合科学部, 教授 (30128764)
• Keywords: Pκλ / partition property / stationary set / unbounded set / ineffability / normal ultrafilter / ideal / saturatlon

Research Abstract

1.λ<λ^<<κ><2^λの場合のP_κλ-combinatoricsについて:λ=2^<δ^<<κ>>でP_κλ上のcompletely ineffableでない集合のなすイデアル(Iとする)が分割の性質(partition property)をもたないならば,λ_κδ上に分割の性質をもたない正規極大フィルターが存在することを明らかにした。次のことを用いている;(1){x∈P_κλ:x^^-≠2^<x∩δ^^^-^<<x∩k.>>}∈I(a^^-はaのorder typeを表す).
(2)Iが分割の性質をもつことと,次のことは同値である;∀X【not a member of】I∃Y ⊂X(Y【not a member of】I∧∀x∈Y∀y∈Y(x〓y→|x|<y∩k))
正規極大フィルターUが分割の性質をもつことと,次のことは同値である;∃A∈U∀x∈A∀y∈A(x〓y→|x|<y∩k).
(3)任意のX【not a member of】Iに対して,その部分集合で,{Z⊂P_κδ:{x∈Y:x∩δ∈Z}【not a member of】I}がP_κδ上の正規極大フィルターになるようなY【not a member of】Iが存在する.
2.弱い分割の性質をもたない集合の成すイデアルの特徴付けについて:完全な特徴付けは得られなかったが,標準的に定義される集合で,このイデアルに属さないものとして以下のものがあることが分かった。これは,このイデアルが非常に小さいことを示している.
(1){x∈P_κλ:x∩κ is not an ordinal}
(2){x∈P_κλ:x∩κ is a successor ordinal}及び{x∈P_κλ:x∩κ is a limit ordinal}
(3){x∈P_κλ:x∩κ =|x|}及び{x∈P_κλ:x∩κ<|x|}
3.新しい強制法の開発:Non-reflecting stationary setを付加する強制法の開発を狙っていたが,N_1上にN_1-denseイデアルが存在する強制モデルの構成に成功した。M.Foremanによる従来の構成は,途中で内部モデルに制限して議論するため,見通しが悪かった。今回の塩谷の手法は,Levi collapseをモデイファイした強制のEaston support iterationで直観が働き,他の問題への応用も期待できる.

Research Products

• [Publications] Masahiro Shioya: "A saturated stationary subset of P_κλ"Mathematical Research Letters. 10・4. 493-500 (2003)
• [Publications] Masahiro Shioya: "Partitioning pairs of uncountabie sets"Proceedings of Logic Colloquium 2000. (to appear).