モデル理論、特に数学的構造のgenericな構成法に関する研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540146
• Research Institution: Toyota National College of Technology
• Principal Investigator: 池田 宏一郎 豊田工業高等専門学校, 一般学科, 講師 (60332029)
• Keywords: Genericな構造 / 安定性 / 範疇性 / Lanchlan予想 / Hodgesの問題 / δ-Genericなグラフ / 擬平面 / 射影平面

Research Abstract

今年度の研究計画は「Genericな構成法の具体例をできるだけ多く集め、分析・整理する」ことであったが、これに関してほぼ計画通り遂行できた。以下、その具体的な成果について報告する。
Genericな構成法はHrushovskiによって開発された手法であり、現在まで多くのモデル理論の研究者による様々な応用等があるが、それらの手法を定式化してまとめたものがδ-genericな構成法であり、筆者のこれまでの研究対象である。
今年度は、genericな構成法に詳しい国内外の研究者達(Baldwin, Pillay,坪井,桔梗)と密接に連絡を取り合うことで、δ-generic以外のgenericな構成法について多くの例を集めた。その中でも大きな収穫はSudoplatovの例である。Sudoplatovは最近、Lachlan予想の反例を作るために新しいgenericな構成法を開発した。残念ながらその構成法はギャップが見つかりLachlan予想の反例にはなっていなかったのであるが、筆者はまだなお修正の余地があると考え、Sudoplatovの構成法の細かい分析を行った。現在、彼の手法を応用した論文を準備中である。
一方、平成14年度以前より続いているδ-genericな構成法の研究も平行して続行中である。まず、δ-genericな射影平面の範疇性に関して得られた結果は、Hodgesの問題の部分的解決となっている。更にδ-genericな擬平面に関する二つの結果も得られた。一つは安定性に関する結果で、δ-genericな擬平面で超安定なものが存在しないことがわかった。これはBaldwinの問題の部分的解決になっている。もう一つはδ-genericな擬平面における閉包の特徴づけである。これらの結果はいずれも技術的なものであるが、Lachlan予想に関連すると筆者は考える。

Research Products

• [Publications] 池田宏一郎: "On generic bipartite graphs"豊田工業高等専門学校研究紀要. 35号. 321-324 (2002)
• [Publications] 池田宏一郎: "On generic pseudoplanes"京都大学数理解析研究所講究録. 1283号. 55-60 (2002)
• [Publications] 池田宏一郎: "A note on generic projective planes"Notre Dame Journal of Formal Logic. (掲載予定). 計7 (2003)
• [Publications] 池田宏一郎: "Stability of generic pseudoplanes"京都大学数理解析研究所講究録. (掲載予定). 計8 (2003)