非線形微分方程式の解の多重性とダイナミクスの研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540159
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 平野 載倫 横浜国立大学, 大学院・環境情報研究院, 教授 (80134815)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 内藤 幸一郎 熊本大学, 工学部, 教授 (10164104) ; 玉野 研一 横浜国立大学, 大学院・工学研究院, 教授 (90171892) ; 塩路 直樹 横浜国立大学, 大学院・環境情報研究院, 助教授 (50215943) ; 小宮 秀敏 慶応大学, 商学部, 教授 (90153676)
• Keywords: 変分法 / ホモロジー理論 / ハミルトニアンシステム / 解の多重性 / 非線形楕円方程式 / ディクレ問題 / subharmonic

Research Abstract

本年度は、二階の非線形楕円型方程式と、数理生態系などに現れる常微分方程式のシステムに主眼をおいて、解の多重性、それぞれの解の特性、および解のダイナミクスを探ることをした。具体的には、昨年度と同様に、非線形楕円型問題においては、Dirichet型の半線形楕円型方程式で、superlinearなgrowth conditionを満たす非線形項をもつものについて、解の存在と特性を,位相的な方法(特に、ホモロジー論、ホモトピー論、デグリー理論)を用いることによって示すことに成果をあげている。特に、方程式の解の存在および多重性が、領域の幾何学的性質および、位相的な性質と結びついていることを解明し、解の存在および、多重性をもつための領域の幾何学的、および位相的な十分条件を示すことに成功している。昨年度、定義域が十分に複雑な位相構造をもては、解の多重性が見込まれるという予想のもとに、いくつかのケースについて、解の多重性を示したが、これをさらに多くの場合についてさまざまな形の領域について示すことに成功している。特に、いわゆるsupercriticalな場合については、これまでまったく知られていなかった解の存在のための幾何学的十分条件を見つけている。一方、昨年度、常微分方程式のシステムとして、ファン・テル・ポール型の問題を、S-1degreeを用いてとくことを試みたが、本年度はそれに成功し、論文として出版されるにいたった。これらが、本年度の成果である。

Research Products

• [Publications] N.Hirano: "Existence of nontrivial solutions for a semilinear elliptic problem with supercritical exponent."Nonlinear Analysis. 55巻5号. 543-556 (2003)
• [Publications] N.Hirano, S.Rybicki: "Existence of limit cycles for coupled van der Pol equations."J.Differential Equations. 195巻1号. 194-209 (2003)
• [Publications] N.Hirano: "Existence of infinitely many solutions for sublinear elliptic problems"J.Math.Anal.Appl.. 278巻1号. 83-92 (2003)