マルチンゲールの手法によるBanach関数空間の解析

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540164
• Research Institution: University of Toyama
• Principal Investigator: 菊池 万里 富山大学, 理学部, 助教授 (20204836)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小林 久壽雄 富山大学, 理学部, 教授 (70033925) ; 風巻 紀彦 富山大学, 理学部, 教授 (50004396)
• Keywords: マルチンゲール / Banach関数空間 / 再配分不変空間 / Burkholder不等式 / ノルム不等式

Research Abstract

1.一様可積分なマルチンゲールに対し、その極限関数と2次変分関数との間に成立するノルム不等式は、しばしばBurkholderタイプの不等式と呼ばれる。研究代表者はBurkholderタイプの不等式が成立するBanach関数空間の特徴づけに成功した。既に知られている結果から、Banach関数空間Xが再配分不変であり、そのlower Boyd indexが0より真に大きく、upper Boyd indexが1より真に小さい場合にはBurkholderタイプの不等式がXのノルムに対して成立することが、容易に導かれる。本研究によってその逆、すなわち、Burkholderタイプの不等式が成立するBanach関数空間は再配分不変であり、そのlower Boyd indexは0より真に大きくupper Boyd indexは1より真に小さいことが明らかになった。尚、この結果はIllinois J. Math.に掲載されることが決まっている。
2.一様可積分なマルチンゲールfに対し、その極限関数の絶対値から生成されるマルチンゲールをAfと書き、fの2次変分関数をS(f)と書くことにする。「2つの条件'S(f)∈X'と'S(Af)∈x'が同値となるようなBanach関数空間Xは如何なる空間であるか」との問題を解決することは、本研究の目的を達成する上で重要であると考え、この問題の研究を行った結果、次のような結論に至った。「条件'S(f)∈X'と'S(Af)∈X'が同値となるBanach関数空間Xは、再配分不変であり、Burkholderタイプの不等式が成立する。また、その逆も正しい」。尚、この結果はGlasgow Math. J.の2004年1月号に掲載予定である。

Research Products

• [Publications] Masato Kikuchi: "Characterization of Banach function spaces that preserve the Burkholder square-function inequality"Illinois Journal of Mathematics. (発表予定).
• [Publications] Masato Kikuchi: "A characterization of Banach function spaces associated with martingales"Glasgow Mathematical Journal. Jan.issue. (2004)