Besov型ノルムによる非線型偏微分方程式の初期値問題の研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14540186
• Research Institution: Chuo University
• Principal Investigator: 村松 寿延 中央大学, 理工学部, 教授 (60027365)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 三松 佳彦 中央大学, 理工学部, 教授 (70190725) ; 松山 善男 中央大学, 理工学部, 教授 (70112753) ; 大春 慎之介 中央大学, 理工学部, 教授 (40063721) ; 吉野 正史 中央大学, 経済学部, 教授 (00145658)
• Keywords: 非線型シュレディガー方程式 / Besov空間 / 臨界指数 / 初期値問題 / KdV方程式

Research Abstract

本研究の目的は、Kenig-Ponce-VegaらによるKdV方程式や未知関数の平方の非線型項をもつ非線型シュレーディンガー方程式の初期値問題をFourier restriction normを用いて負のし指数のSobolev空間で解くという画期的研究をBesov空間の方法により、一般化し、特に彼らの方法では不可能である臨界指数の場合、また空間の次元が高い場合も調べ、さらに種種の非線形方程式にも応用しようとするものである。
この目的に従って研究し今年度は次の結果を得た。
(1)非線型項が未知関数の2乗と未知関数の複素共役の2乗の1次結合の場合に非線型シュレーディンガー方程式の初期値問題は空間1次元と2次元のときは指数-3/4(これが臨界指数)のSobolev空間で時間局所適切であることを証明した。
(2)空間次元が3以上の場合、臨界指数(次元)/2-2の空間であるが対数的に指数の大きな空間を初期値にとると、小さな初期値に対して初期値問題が一意的に解けることを示し、この臨界指数より大な指数のSobolev空間で時間局所適切であることを証明した。これは従来の研究にはないものである。
(3)非線形項が未知関数と未知関数の複素共役の積の場合の非線型シュレーディンガー方程式の初期値問題についても従来の結果を改良し、さらに高次元の場合についての結果を得た。
(4)非線形項が未知関数の立方の場合の非線型シュレーディンガー方程式についても研究し、空間1次元の場合について、ほぼ満足すべき結果が分かった。
(5)KdV方程式についても結果を得ているが、まだ改良の余地があると考え研究を進めている。
(6)導関数を非線形項に含む非線型シュレーディンガー方程式やBenjamin-Ono方程式についても研究を進めている。

Research Products

• [Publications] T.Muramatu, S.Taoka: "The initial value problem for 1-D Schrodinger equation in Besov spaces"Journal of the Mathematicl Society of Japan. (未定).
• [Publications] Y.Matsuyama: "On totally real submaniholds of a complex projective space"Nihonkai Mathematical Journal. 13・2. 153-157 (2002)
• [Publications] Y.Mitsumatsu: "Foliation and contact structures on 3-maniholds"Proceeding of Foliations : Geometry ans Dynamics. 75-125 (2002)
• [Publications] 三松義彦, 矢野泰久: "Riemann多様体上の非圧縮流体の幾何"数理解析研究所講究録. 1260. 33-47 (2002)