主値積分を含む非線形方程式の精度保証付き数値計算

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14550057
• Research Institution: TEMThe University of Tokyo
• Principal Investigator: 村重 淳 東京大学, 大学院・新領域創成科学研究科, 助教授 (40302749)
• Keywords: 精度保証付き数値計算 / 特異積分方程式 / 非線形方程式 / 分岐 / 区間解析

Research Abstract

工学における様々な現象を体系的にとらえるために,その本質を表す数学モデルが導かれている.しかし,そのようにして定式化された数学の問題のほとんどは厳密解を求めることが難しく,計算機を用いた数値計算に頼らざるをえない.数値計算の目的は,厳密解にできるだけ近い近似解を求めることであるが,その誤差(厳密解と近似解の差)の評価は一般には容易ではない.工学的に興味のある現象,たとえば非線形現象の分岐点付近では,数値計算が困難になる場合が多いので,その誤差評価は非常に重要である.本研究のテーマである精度保証つき数値計算は,数値計算で得られた近似解の誤差を計算機を用いて厳密に評価する手法である.
本研究では,まず,弾性体理論,流体力学,音響学,電磁気学などでよく現れる主値積分を含む周期的な非線形積分方程式の精度保証方法を考えた.基本的なアイディアは,方程式を不動点形式に変形し,適当な関数空間を設定して,Schauderの不動点定理を応用することである.その際,主値積分の性質と周期性より,解はFourier展開により表現し,関数空間としては周期的なSobolev空間を用いた.最終的な目的は,近似解の近傍における真の解の存在を示すことであるが,近似解の近傍は有限次元の部分と打ち切り項の部分の積として表した.
具体的な問題としては,水波の形状を与えるNekrasov積分方程式を考えた.波の高さが中程度であれば,上記の方法により精度保証が可能であることがわかった.しかし,波の高さがかなり大きくなると,計算量の問題により,実用的な計算時間では精度保証できなかった.計算量の問題は今後の課題として残されている.また,工学的応用上重要な問題として分岐点,特に二重折り返し点の精度保証についても,上記と同じ枠組みで考えた.従来未解決であった,精度保証のための分岐点の条件を明らかにすることができた.

Research Products

• [Publications] Tanaka, G., Murashige, S., Aihara, K.: "Bifurcation structures of period-adding phenomena in an ocean Internal wave model"International Journal of Bifurcation and Chaos. 13・11. 3409-3424 (2003)
• [Publications] Hamano, K., Murashige, S., Hayami, K.: "Boundary element simulation of large amplitude standing waves in vessels"Engineering Analysis with Boundary Elements. 23. 565-574 (2003)
• [Publications] Murashige, S., Oishi, S.: "Numerical verification of solutions of periodic integral equations with a singular kernel"Proceedings of SCAN2002. (印刷中). (2004)
• [Publications] Tanaka, K., Murashige, S., Oishi, S.: "On necessary and sufficient conditions for numerical verification of double turning points"Numerische Mathematik. (印刷中). (2004)