強パーフェクトグラフ予想と逆辞書式イニシャルイデアルの研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14654022
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 日比 孝之 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (80181113)
• Keywords: 有限グラフ / パーフェクトグラフ / 強パーフェクトグラフ予想 / トーリックイデアル / イニシャルイデアル / 逆辞書式順序 / 凸多面体 / 単項式イデアル

Research Abstract

有限グラフGがパーフェクトグラフであるとは,Gの任意の誘導部分グラフHについてHの彩色数とHに含まれる完全グラフの最大位数が一致するときに言う.当該萌芽研究においては,有限グラフに自然な方法でトーリックイデアルを付随させ,そのイニシャルイデアルの代数と幾何を駆使することで,懸案の強パーフェクトグラフ予想「有限グラフG及びその補グラフが長さが5以上の奇サイクルを誘導部分グラフとして含まないならば,Gはパーフェクトグラフである」の肯定的解決に挑戦するための基盤を構築する.いま,有限グラフGの頂点集合を{1,...,n}としGに含まれる完全グラフKにR^nの(0,1)-ベクトル\delta(K)=\sum_{i\in V(K)}e_iを対応させる.但し,V(K)はKの頂点集合,e_iはR^nの単位座標ベクトルである.このとき,有限集合{\delta(K);KはGに含まれる完全グラフ}の凸閉包である(0,1)-凸多面体P_GとそのトーリックイデアルI_Gを考察する.当該年度はI_Gのイニシャルイデアルin_{<}(I_G)の代数的な振る舞いを解析するための基礎研究を展開した.具体的には,任意の逆辞書式順序<についてin_{<}(I_G)がsquorefreeな単項式で生成されるための条件を探究した.当該萌芽研究における作業仮説は「任意の逆辞書式順序<についてイニシャルイデアルin_{<}(I_G)がsquarefreeとなるためにはGがパーフェクトグラフであることが必要十分である」という予想である.我々はその予想の十分性を証明することに成功し,加えてin_{<}(I-G)が2次単項式で生成される有限グラフの類を発見することができ,次年度以降の研究を遂行するための準備ができた.

Research Products

• [Publications] Hidefumi Ohsugi, Takayuki Hibi: "Quadratic initial ideals of root systems"Proc. Amer. Math. Soc.. 130. 1913-1922 (2002)
• [Publications] Hidefumi Ohsugi, Takayuki Hibi: "Hamiltonian tournaments and Gorenstein rings"Europ. J. Combin.. 23. 463-470 (2002)
• [Publications] Vesselin Gasharov, Takayuki Hibi, Irena Peeva: "Resolutions of a-stable ideals"J. Algebra. 254. 375-394 (2002)
• [Publications] Annetta Aramova, Jurgen Herzog, Takayuki Hibi: "Shellability of semigroup rings"Nagoya Math. J.. 168. 65-84 (2002)
• [Publications] 日比孝之: "グレブナー基底"朝倉書店(出版予定). (2003)