ミッターク・レフラー関数の非整数階微分・差分方程式への応用

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14654036
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 亀高 惟倫 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (00047218)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 永井 敦 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助手 (90304039) ; 小川 知之 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (80211811)
• Keywords: 重調和 / グリーン関数 / ポアッソン関数 / 4階微分方程式 / Conley指数 / ミッタークレフラー関数 / 非整数階

Research Abstract

基礎工学における重要問題である棒や板のたわみ問題、対流のパターン形成、流体中の球形粒子運動などを記述する高階微分方程式および非整数階微分方程式に着目して、その解析を数学的かつ数値的側面から詳細に行った。本年度に得られた結果は以下の通りである。
1.円板内部の重調和作用素の自己共役境界値問題を設定して、そのグリーン関数およびポアッソン関数をフーリエ解析を用いて求めた。さらにグリーン関数の積分表示を求めて、その正値性および異なる境界条件の下でのグリーン関数の大小関係(階層構造)を明らかにした。またポアッソン関数がポアッソン関数として機能するための定理(構造定理)も導いた。
2.偏微分方程式の定常解大域分岐図を証明することを目標において、スィフト・ホーヘンバーグ方程式に着目して実際に大域分岐図の検証を行った。具体的にはConley指数という位相的方法を用いて計算機により数値的に得られた分岐図を厳密に検証した。同時に平衡点の安定性次元をも検証した。
3.流体中の球形粒子やマントルの運動はそれぞれ1/2階微分、3/2階微分を有する非整数階微分方程式で記述されてその取り扱いが困難であったが、本研究によりミッターク・レフラー関数と呼ばれる特殊関数によって解の表示が可能であることがわかった。さらにミッタークレフラー関数解を保存するような非整数階微分方程式の安定な差分スキームを構成し、その解が離散ミッタークレフラー関数によって記述されることを証明した。

Research Products

• [Publications] 亀高惟倫, 竹居賢治, 永井 敦: "円板内の重調和作用素に対するグリーン関数とポアッソン関数"数理解析研究所講究録. 1302. 60-68 (2003)
• [Publications] A.Nagai: "Discrete Mittag-Leffler function and its applications"数理解析研究所講究録. 1302. 1-20 (2003)
• [Publications] 平岡裕章, 小川知之, K.Mischaikow: "Swift-Hohenberg方程式の定常解大域分岐図のConley指数を用いた検証"日本応用数理学会論文誌. (掲載予定).