ミッターク・レフラー関数の非整数階微分・差分方程式への応用

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14654036
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 亀高 惟倫 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 教授 (00047218)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 永井 敦 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助手 (90304039) ; 小川 知之 大阪大学, 大学院・基礎工学研究科, 助教授 (80211811)
• Keywords: グリーン関数 / ポアッソン関数 / ミッターク・レフラー関数 / 非整数階微分 / 4階微分方程式 / 重調和作用素 / 棒のたわみ問題

Research Abstract

本年度は数理工学や基礎工学に登場する4階および非整数階微分方程式に着目してその解やグリーン関数を導出するとともにその詳細な性質を究明した。得られた主要な結果は以下の通りである。
1.重調和作用素の円板内部自己共役境界値問題を設定し、そのグリーン関数およびポアッソン関数の積分表示を求めた。これはチェビシェフ多項式の母関数を用いて書き表すことができ、積分表示を利用することによって解の境界挙動が厳密にわかる。
2.前年度に引き続き4階常微分方程式で記述される棒のたわみ問題の境界値問題を研究した。特に第3種境界条件を伴う境界値問題のうち、物理的に意味のあるものに着目してそのグリーン関数と境界条件を満たす基本解を導出、さらにその正値性を示した。
3.非整数階微分を伴うチェン方程式やトルヴィクバグレイ方程式に着目して、ピューズー展開法によって、解を求めた。解はミッタークレフラー関数を用いて書き表すことができ、その漸近挙動も正確に解明した。またピューズ展開法を利用して、解の満足する非整数階微分を含まない常微分方程式の導出に成功した。常微分方程式の導出により、それまで困難であった非整数階微分方程式の数値スキームの1手法を確立した。
4.非整数階微分の差分化を行った。差分化は差分間隔一定のもののみならず、差分間隔が公比qの等比級数を成すq差分化に成功。その固有関数について調べた。

Research Products

• [Publications] 亀高 惟倫: "円板内部重調和作用素のグリーン関数とポアッソン関数"京都大学数理解析研究所講究録. 1302. 50-55 (2003)
• [Publications] Yoshinori Kametaka: "Depedency of Green functions on an interval length to 2-point simple type self adjoint boundary value problems for bending of a beam"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. (発表予定).
• [Publications] 小川 知之: "Swift-Hohenberg方程式の定常解大域分岐のConley指数を用いた検証"日本応用数理学会論文誌(和文). 13. 191-211 (2003)
• [Publications] 永井 敦: "ミッターク・レフラー関数の差分化-非整数階差分とは?"数理科学(サイエンス社). 483. 50-55 (2003)
• [Publications] Atsushi Nagai: "An integrable mapping with fractional difference"Journal of the Physical Society of Japan. 72. 2081-2083 (2003)
• [Publications] Atsushi Nagai: "On a certain fractional q-difference and its eigen function"Journal of the Nonlinear Mathematical Physics. 10 Suppl.2. 133-142 (2003)