| Research Abstract |
r次元射影空間の既約なd次数射影曲線Xに対する,Castelnuovo-Mumford regularityreg(X)は,定義方程式,generic initial idealの生成元の次数,ヒルベルト関数などに関係する重要な不変量であり,本研究までに,reg(X)はd-r+2以下であることが,また上限を満たすような曲線は,非特異な有理曲線であり(d-r+2)-secant lineを持つことが知られていた.これにより,次数が十分に大きければ,reg(X)=eのとき,e-secant lineを持つことが予想されていた.また,昨年度までに,p_aを曲線の算術種数,f:=min{p_a,r-2}とするとき,reg(X)はd-r+2-f以下であること,さらに,f:=r-1についてp_a≧r+2であってXが超楕円曲線でなければ,reg(X)はd-2r+3以下であることがわかっていた.今年度は,これと関係の深い,代数曲線や射影的代数多様体の多重割線について研究を行った.そして,上の昨年までの結果は,p_a=r-2の時には最良であるという結果が得られた.さらに,p_a>r-2について,最良であるかどうか,そうでなければ,最良な評価はどのようなものかを決定することは残された重要な問題である.これらの評価を与えるうえで,計算機による実験的な計算はたいへん重要であるが,本年度,この計算のために重要な役割を果たすsyzygyを求めるための簡易なアルゴリズムを作成した.先の代数曲線の多重割線の研究を下に,その他に,多重割線が存在するときの射影的代数多様体の構造に関して,また,3重割線を持つ空間曲線の構造に関してそれぞれ考察を行い,いくつかの結果が得られたが,これは現在進行中であり,さらに詳しい研究が今後の課題である.
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