強近似定理の一般化

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740012
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 山崎 愛一 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10283590)
• Keywords: division algebra / 強近似定理 / 係数体の一般化

Research Abstract

Dedekind domain Rの商体K上のcentral division algebra Dについて,Eichler型の強近似定理を一般化することが従来からの目標である。係数体が一般のときは代数関数体の場合でも、SL_1(D)についてEichler cond.がみたされても強近似性が成り立たない例があるので、SL_1(D)の代わりに交換子群(D^×,D^×)を考えて、Eichler型強近似定理の一般化を試みている。
一般のPF体についてEichler型強近似定理は二つの部分に分けられて、「Eichler cond.⇒(D^×,D^×)は(イデール群の中で)離散的でない⇒強近似性すなわち(D^×,D^×)は(D^×_A, D^×_A)のなかでdense.」となっている。Eichler型強近似定理の一般化が成立するためには「この二つの⇒がどちらも正しい」ことが必要十分である。
このように強近似定理の一般化は二つの部分に分けられて、それぞれが独立なconjectureである。特に後半のformulationは、Dedekind domainの商体の場合にも一般化できる。
Eichler型の強近似定理の一般化の成否については今のところ見通しが立っていず、幾つかの具体的な体の場合について、特に始めの⇒について調べているところであるが、それでも十分難しいことが分かってきた。
代数的数体の場合のコンパクト性を有界性に置き換えるだけで証明の議論は破綻するが、これをどのように修復したらよいか、そもそも修復可能か手探りの状態である。代数的数体の場合、強近似性の成立にはブラウアー群の構造が鍵になっており、PF体の場合に同じ状況が起こるかどうかは分からないが、ブラウアー群の構造の)研究も重要な関連事項と考え、本年度はこの方面の研究を行った。
このように具体的例について考えたり、周辺の関連事項を研究したりの段階で本来の一般化の目標にはまだ道のりがあるのが現状である。

Research Products

• [Publications] Aiichi YAMASAKI: "Toward a generalization of strong approximation theorem to a general PF field"Journal of Mathematics of Kyoto University. 42・3. 477-484 (2003)
• [Publications] 山崎愛一: "-変数有理関数体のブラウアー群"第48回代数学シンポジウム報告集. 107-114 (2003)