正規アフィン代数曲面の構造に関する研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740017
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: 小島 秀雄 新潟大学, 工学部, 講師 (90332824)
• Keywords: 正規アフィン代数曲面 / 対数的デルペッゾ曲面 / 正規完備代数曲面 / 開代数曲面 / 対数的小平次元 / 極小正規コンパクト化

Research Abstract

対数的代数曲面の極小モデル理論と指数2でピカール数1となる対数的デルペッゾ曲面の分類結果及び対数的標準被覆のテクニックを用いて、対数的小平次元がゼロで対数的2種数が正となる開代数曲面の分類理論を確立し、強極小的なものを全て分類した。これにより、対数的小平次元と対数的幾何種数がゼロで対数的2種数が正となる高々対数的端末特異点を持つ正規アフィン代数曲面の強極小モデルの分類が完成し、そのような曲面は曲線上の代数的トーラスファイバー空間の構造を持つことを示した。更に、任意標数での対数的小平次元がゼロとなる開非有理代数曲面の分類を行った。
それから、任意標数での正規完備代数曲面上の数値的に正となるカルティエ因子について研究し、そのような因子の種数はゼロ以上で、更に種数が1以下になる場合、その因子は豊富であることを証明した。これにより、任意標数での射影的ゴレンスタイン代数曲両上の数値的に正となる因子に対して、十分大きい自然数nでn倍すると、その随伴因子は豊富になることを示した。
また、正規アフィン代数曲面の極小正規コンパクト化について研究し、次のような結果を得た。まず、ホモロジー平面が複素アフィン平面に同型であることの必要十分条件がその曲面が2つ以上の同型でない極小正規コンパクト化をもつことであることを証明した。次に、複素アフィン平面を有限巡回群で割った曲面の極小正規コンパクト化の境界の双対グラフが線形であることの純代数的な証明を与え、境界の双対グラフの部分的な分類を行った。

Research Products

• [Publications] Hideo Kojima: "Rank one log del Pezzo surfaces of index two"Journal of Mathematics of Kyoto University. (発表予定).
• [Publications] Hideo Kojima: "A note on Sakai's theorem concerning polarized normal surfaces"Archiv der Mathematik. (発表予定).