写像類群のコホモロジーと整係数Riemann-Roch公式の位相幾何学的研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740032
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 秋田 利之 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30279252)
• Keywords: 写像類群 / Riemann-Roch型公式 / コホモロジー作用素 / Steenrod作用素 / Stiefel-Whitney類 / Wu類 / Voronoiの恒等式

Research Abstract

写像類群に対するGrothendieck-Riemann-Rochの定理の、整係数コホモロジーにおける類似(整係数Grothendieck-Riemahn-Roch公式)を証明すること、その応用として写像類群の整係数コホモロジーの構造を解明することを目的として研究を進めた。今年度はとくに(i)コホモロジー作用素とGysin準同型の関係(とくにそれらの非可換性)(ii)写像類群の巡回部分群に対する整係数Grothendieck-Riemann-Roch公式を中心に研究を進め以下の結果を得た。
1.閉多様体をファイバーとするファイバー束(曲面束とは限らない)に対し、コホモロジー作用素(Steenrod作用素)とGysin準同型との非可換性が、相対接束(ファイバーに沿った接束)の全Stiefel-Whitney類または全Wu類で記述されることを示した。結果としてコホモロジー作用素に対するRiemann-Roch型公式を得た。これは昨年度に得た曲面束の場合の公式の一般化に当たる。
2.Bernoulli数の分母と分子に関する「Voronoiの恒等式」の(一つの)一般化を得た。
3.前項の結果とG-符号数に関する考察を組み合わせることにより、写像類群の巡回部分群に対する整係数Grothendieck-Riemann-Roch公式を証明した。昨年度までは「半自由」という仮定の元でしか証明できていなかったが、今回その仮定をはずすことに成功した。