円周上の曲面束の構造を許容する3次元双曲的多様体の位相不変量に関する研究

2002 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740037
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 北野 晃朗 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (90272658)
• Keywords: 曲面束 / L2-トーション / ライデマイスタートーション / ねじれアレキサンダー多項式 / ファイバー結び目 / 双曲的多様体

Research Abstract

1、ライデマイスタートーションは古典的な3次元多様体の位相不変量である。この不変量は基本群の有限次元線形表現を一つ固定する毎に定まる不変量である.近年その無限次元ユニタリー表現への一般化であるL2-トーションが定義され盛んに研究されている.本研究の主たる研究対象は円周上の曲面束の構造を許容し、かつ双曲的3次元多様体の構造を許容するものである。これらの多様体はファーバー曲面のモノドロミー同相写像により、その位相構造、幾何構造が定まるが、L2-トーションはモノドロミー同相写像から双曲的体積を計算する一つの手段を与える.
高沢光彦氏(東工大大学院情報理工)、森藤孝之氏(東京農工大工)と協同で基本群の正則表現にたいするL2-トーションを近似するL2-トーションの列を基本群の羃零商から構成し、それらに関する結果を得た.
2、古典的なライデマイスタートーションを使って、結び目のねじれアレキサンダー多項式を解釈する事ができる.アレキサンダー多項式は結び目の古典的な不変量で様々な角度から研究されているが、とくにアレキサンダー多項式の係数を観察することにより、結び目の補空間が円周上の曲面束の構造を許容するかどうかの必要条件が得られる.基本群の表現を使い、アレキサンダー多項式をねじったねじれアレキサンダー多項式で同様の性質が成立する事を合田洋氏(東京農工大工)、森藤孝之氏(東京農工大工)と協同で証明した。この結果を用いるとアレキサンダー多項式の係数だけでは曲面束の構造が入るかどうか判定できないものが、ねじれアレキサンダー多項式の係数まで観察すれば判定できる例をいくつか見つけた。

Research Products

• [Publications] 北野晃朗, 森藤孝之, 高沢光彦: "L2-tosion of a surface bundle over S^1 and a hyperbolic volume"数理解析研究所講究録. 1270. 24-28 (2002)
• [Publications] T.Kitano, T.Morifuji, M.Takasawa.: "Numerical Calculation of L2-torsion invariants"Interdisciplinary Information Sciences. Vol 9(未定). (2003)
• [Publications] T.Kitano, T.Morifuji, M.Takasawa.: "L^2-torsion invariants of a surface bundle over S^1"Journal of the Mathematical Society of Japan. (未定).