円周上の曲面束の構造を許容する3次元双曲的多様体の位相不変量に関する研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740037
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 北野 晃朗 東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 助教授 (90272658)
• Keywords: L2-torsion / Reidemeister torsion / 曲面束 / Twisted Alexander多項式 / ファイバー結び目 / 双曲的多様体

Research Abstract

1.Reidemeister torsionは3次元多様体論における古典的な位相不変量であり、ホモトピー不変量ではない重要な不変量である。この不変量は基本群の有限次元線形表現を一つ固定する毎に定まる代数的な量(数、多項式など)である。本研究の主たる課題はこの不変量の無限次元版であるL2-torsionと円周上の曲面束の構造を許容する3次元多様体の位相的性質との関係についてである。高沢光彦氏(東工大・情報理工学研究科)、森藤孝之氏(東京農工大・工学部)と共同で曲面群の冪零商から構成される基本群の正則表現を近似する表現を用いて定義されるL2-torsionの列について研究を続けている。今年度は近似列の1番目に現れる不変量の性質についていくつかの具体的な場合について研究を行った。特に種数1のトーラス束の場合にコンピュータを使い不変量の振る舞いについて実験を行った。また、有限巡回被覆の1次元ホモロジーの位数について考察を行った。
2.結び目のTwisted Alexander多項式はRedidemeister torsionの特別な場合として解釈が可能である。古典的なAlexander多項式は様々な観点から研究されているが、Twisted Alexander多項式の場合に関して、古典的な場合から類推される様々な事柄についての研究は未だ始まったばかりであり、未解決の問題が多く存在する。そこでまず結び目の補空間が曲面束の構造を持つ場合について、Twisted Alexander多項式について合田洋氏(東京農工大・工学部)、森藤孝之氏(東京農工大・工学部)と共同で研究を行った。

Research Products

• [Publications] T.KITANO, T.MORIFUJI, M.TAKASAWA: "Numerical calculation of L^2-torsion invariants"Interdisciplinary Information Sciences. 9. 35-42 (2003)
• [Publications] T.KITANO, T.MORIFUJI, M.TAKASAWA: "L^2-torsion invariants and homology growth of a torus bundle over S^1"Proc.Japan.Acad.Ser.A. 79. 76-79 (2003)
• [Publications] T.KITANO, T.MORIFUJI, M.TAKASAWA: "L^2-torsion invariants of a surface bundle over S^1"J.Math.Soc.Japan. 未定. (2004)