Extremal codeの被覆半径の上限、下限の改良と符号の他分野への応用

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14740061
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 田辺 顕一朗 筑波大学, 数学系, 助手 (10334038)
• Keywords: 符号 / 被覆半径 / デザイン / 頂点作用素代数 / twisted加群 / Zhu代数

Research Abstract

符号の被覆半径に関しては次の結果を得た。有限体上の符号から組合せデザインを構成する強力な方法としてAssmun-Mattsonの定理がよく知られている。二元体上の符号のコセットに対するAssmus-Mattsonの定理の類似を研究し、長さが24n+16のExtremal doubly-even符号のコセットがある条件を満たせば、そこからデザインを構成出来ることを示した。以前から計算機を用いてある符号のコセットトからデザインが構成出来ることが知られていたのであるが、この結果はその事実に計算機を用いない証明を与えたことになる。また山形大の原田、小関とともに小関多項式を用いたExtremal符号の被覆半径を求める計算方法を開発し、三元体上の長さの小さい具体的な符号のコセットの重み分布と被覆半径を求めた。
頂点作用素代数Vとその有限位数の自己同型群Gが与えられたとき、筆者は有限群の作用で固定される部分代数V^Gの表現論を研究した。筑波大の宮本とともにZhu代数と呼ばれる結合代数の研究を行い、任意のtwisted既約V加群は完全可約V^G加群であることをSchur-Weyl型の定理を経由して示した。V^Gの全ての既約加群はtwisted加群を分解することによって得られる事が予想されており、この結果はこの予想の解決への極めて重要な前進である。またDong, Lam,山田(一橋大),横山(九大)とともにモンスター単純群の位数3の元に関係する頂点作用素代数の具体例を研究した。ある頂点作用素代数の位数3の自己同型によって固定される部分代数としてこの代数は与えられる。その代数の既約加群を分類し、C_2有限性と呼ばれるある種の有限性生成と有理性を示した。

Research Products

• [Publications] Kenichiro Tanabe, C.Dong, C.H.Lam, H.Yamada, K.Yokoyama: "Z_3 symmetry and W_3 algebra in lattice vertex operator algebras"Pacific Journal of Mathematics. (発表予定).
• [Publications] Kenichiro Tanabe, M.Harada, A.Munemasa: "Extremal self-dual [40,20,8] codes with covering radius 7"Finite Fields and Their applications. (発表予定).
• [Publications] Kenichiro Tanabe, M.Harada, M.Ozeki: "On the covering radius of ternary extremal self-dual codes"Design, Lodes and Cryptography. (発表予定).
• [Publications] Kenichiro Tanabe, M.Miyamoto: "Uniform product of Ag,n(V) for an orbifold model V and G-twisted Zhu algebra"Journal of Algebra. 274. 80-96 (2004)