最小値独立置換族の構造に関する研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14780199
• Research Institution: Nagaoka University of Technology
• Principal Investigator: 武井 由智 長岡技術科学大学, 工学部, 助手 (90313337)
• Keywords: min-wise independent / permutations / random variables / k-restricted / lower bound / 置換 / 最小値独立 / 下界

Research Abstract

最小値独立置換族の構造の解明、特にその最小サイズの解明の一環として、k-制限最小値独立置換族(k-restricted min-wise independent permutation family)と呼ばれるクラスについて、置換族のサイズの改良された下界を示した。具体的には、n点集合に作用するk-制限最小値独立置換族は、少なくとも次の個数の置換を含んでいることを証明した(簡単のため、kが奇数の場合のみ示す):(n-1) choose ((k-1)/2)+(n-1) choose ((k-3)/2)+...+(n-1) choose 0.ただしn choose rはn個のものからr個を非復元抽出するときの組み合わせの数である。従来まで知られていたk-制限最小値独立置換族のサイズの下界は、この式の第一項に相当するものであった。従って、この式の第二項以降の分、下界が改良された(大きくなった)ことになる。また、この下界は、置換族から置換を抽出するときの分布が一様分布であるか、そうでない一般の分布であるかを問わずに成立している。さらに、k-制限最小値独立置換族のサイズ上界について、k=3およびk=4という特別な場合についてであるが、以下のことを示した:サイズが0(n log^2 n)の3-制限最小値独立置換族が存在する。また、サイズが0(n log^3 n)の4-制限最小値独立置換族が存在する。これらは、それまで知られていた上界n^((1+2/lg n)k)(Itoh-Takei-Tarui 2000)のk=3,4の場合を大きく更新している。のみならず、これらの上界は、前述した下界のk=3,4の場合それぞれと比較して、log nの多項式のファクターの違いがあるのみであり、真の最小サイズに近い上界と期待できるものである。これらの上界は、有限幾何を応用した置換族の具体的構成により示されている。

Research Products

• [Publications] Toshiya Itoh: "On the sample size of k-restricted min-wise independent permutations and other k-wise distributions"Proceedings of the 35^<th> ACM Symposium on Theory of Computing (STOC03). 710-719 (2003)
• [Publications] Jun Tarui: "A nearly linear size 4-min-wise independent permutation family by finite geometries"Approximation, Randomization and Combinatorial Optimization (Proc. 6^<th> APPROX and 7^<th> RANDOM). LNCS 2764. 396-408 (2003)
• [Publications] Toshiya Itoh: "Recent progress on min-wise independent permutations"Technical report of IEICE. COMP 2003-10. 41-50 (2003)