2014 Fiscal Year Annual Research Report
リッチ曲率が下に有界な境界付きリーマン多様体の幾何構造の研究
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14J00072
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
櫻井 陽平 筑波大学, 大学院数理物質科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | 境界付きリーマン多様体 / リッチ曲率 / pラプラシアン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は，境界付き多様体の剛性に関する研究を行った．リッチ曲率ならび境界の平均曲率が下に有界な境界付き多様体に対して，いくつかの剛性定理を得たので報告する．
研究計画の段階において，リッチ曲率および境界の平均曲率の下からの有界性の仮定のもと，境界付き多様体の境界の近傍に対する体積比比較定理を得ていた．その比較定理の等号成立条件について考察をし，境界の近傍の体積増大度に関する剛性定理を得た．また，加須栄氏，Croke-Kleiner両氏はそれぞれ独立に，コンパクトな境界を持つ境界付き多様体に対してある分裂定理を得ていた．境界がコンパクトとは限らない境界付き多様体に対して，ある分裂定理を示した．今回得られた結果をもって，今後の研究の基盤が出来上がったと言える．
また，境界付き多様体上のpラプラシアンのディリクレ固有値に関する研究を行った．リッチ曲率および境界の平均曲率の下からの有界性，さらに内在半径の上からの有界性の仮定のもと，pレイリー商に対し，ある下からの評価を与えた．特に，コンパクトな境界付き多様体上のpラプラシアンのディリクレ最小固有値の下限を得た．さらに，先に述べた分裂定理を応用して，pレイリー商の下限に関する剛性定理を得た．加須栄氏によりコンパクトな境界付き多様体上のラプラシアンの最小固有値に関する剛性定理が得られていたが，今回得られた剛性定理はコンパクトとは限らない境界付き多様体に対する主張であることに注意する．
以上に述べた研究成果は，研究論文
Y. Sakurai, Rigidity of manifolds with boundary under a lower Ricci curvature bound, arXiv preprint arXiv:1404.3845v4 (2015), submitted.
として査読付き学術雑誌に投稿中の状態にある．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画の段階において，境界付き多様体の剛性についていくつかの予想を立てていたが，それらの予想を肯定的に，満足する形で解決することができた．また当初の研究計画にはなかったpラプラシアンのディリクレ固有値に関する研究を通して，境界付き多様体の剛性について新たな知見を得ることができた．これらの状況を踏まえて，研究はおおむね順調に進展していると判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
当該年度において得られた境界付き多様体に対する剛性定理を，重み付きリッチ曲率および境界の重み付き平均曲率が下に有界な境界付き多様体に対して一般化する．境界からの距離関数に対する重み付きラプラシアン比較定理を示すことが証明の要点であろう．
また，境界付き多様体上のpラプラシアンのディリクレ固有値に関する研究を推し進める．加須栄氏によりコンパクトな境界付き多様体上のラプラシアンの最小固有値に関する剛性定理が得られていた．重み付きpラプラシアンのディリクレ最小固有値に対して同様の剛性定理が成立することを示す．また当該年度において，pラプラシアンのディリクレ最小固有値に対する下からの評価を得たが，その証明の中で本質的な役割を果たしていたのは境界付き多様体内のある有界領域のある等周定数に対する評価である．リッチ曲率および境界の平均曲率が下に有界な境界付き多様体に対して種々の等周不等式を示し，それらを用いてディリクレ最小固有値に関する剛性定理を得ることを目標とする．例えば，ベラール・メイヤー型の剛性定理を示すことが課題の一つとして挙げられる．測度の集中現象の研究への応用も視野に入れながら研究を進める．
研究計画に記載していた，境界付き多様体の安定性の研究も随時進める予定である．
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Research Products
(4 results)
