2015 Fiscal Year Annual Research Report
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14J01364
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
北別府 悠 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | RCD 空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
27年度はまず前年度末に得られていた結果である低次元 RCD 空間の分類定理について, 証明に少し誤りがあったのでそれを修正した. 特に測地線が分岐しないことを示すのに, 最適輸送のテクニックを使った. これはもともと Rajala-Sturm によって使われていた議論を我々の設定に合うように注意深く修正したものである. さらに一次元の円周に正の曲率を持つ RCD 空間が Gromov-Hausdorff 位相の意味で収束しないことを測度の Radon-Nikodym 微分の凸性を用いて示した.
次に一次元とは限らないような RCD 空間の中で扱いやすいクラスを定めることを行った. 具体的には RCD 空間上で Bishop 型の不等式を満たすようなクラスを定義し, そのような空間の接錐についての考察を行った. RCD 空間の重要な例である Ricci limit 空間では非崩壊という非常に扱いやすいクラスがある. この非崩壊の Ricci limit 空間は接錐が距離錐と呼ばれる性質の良いものになっていることがすでに示されている. しかしながら非崩壊という定義は, 近似する多様体列がない限り定義できないので RCD 空間には基本的に定義できない. そこで非崩壊な Ricci limit 空間では Bishop 不等式が成り立つことに着目して Bishop 型の不等式が成り立つような RCD 空間の研究を行った. するとこのような空間は接錐が距離錐であり, Hausdorff 次元が整数になるということが示せた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
RCD 空間上に Bishop 型の不等式を仮定することで, 空間の局所的な性質が良いものであるということが示せた. このような局所的な性質がわかると, 例えば RCD 空間から何かよい空間への写像の調和性なども論じられると思われる. 空間から Wasserstein 空間への写像の中で良いものを見つけるという課題であったので, 27年度の研究は大きな進歩であるが, まだ写像の空間に対しての研究までは到達していない. したがってやや遅れているという評価が妥当であると考えている.
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までに Bishop 不等式を仮定した RCD 空間自体の局所的な性質が非常に良いものであることがわかった. さらに最近 Gigli 氏により測度距離空間の微分構造と呼ぶべきものが定義され, 盛んに研究されている. そこでこの Gigli 氏の結果も参考にしつつ, さらなる研究を推し進めていくことを考えている.
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