2015 Fiscal Year Annual Research Report
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14J01881
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
伊藤 敦 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | トーリック多様体 / 双対多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
N次元射影空間に埋め込まれた射影代数多様体Xに対し，それに接する超平面を考えることで，Xの双対多様体X*を定義することができる．双対多様体の期待次元はN-1であるが，実際の次元はそれより小さくなりうる．そのようなXは特殊な構造を持つ（例えば直線で覆われていることがわかる）．一方，ユークリッド空間内のN+1個の整数点からなる有限集合Aから，N次元射影空間に埋め込まれたトーリック多様体を定義することができる．原理的にはトーリック多様体の幾何的な性質を，Aの組み合わせ的な性質で言い換えることができる．
Xがトーリック多様体の場合に双対多様体X*の次元については，様々な先行研究がある．例えばXが滑らかな場合には，X*の次元はXの適当な射影束構造を見ることで記述されている．組み合わせ的に言い換えると，有限集合Aの適当なケーリー構造というものを見ることで記述できる．この結果はXの特異点が良い（正規かつQ-分解型の）場合に拡張されている．
当該年度は，国立台湾大学の古川勝久氏との共同研究で特異点の条件を外した場合を研究した．まずトーリック多様体に線形多様体が含まれている場合は，その線形多様体から有限集合Aが自然にケーリー構造を持つことを示した．この結果を用いることでトーリック多様体の双対多様体の次元の記述をAの組み合わせ論的な問題に帰着することができる．我々はジョイン型のケーリー構造という特殊なケーリー構造を考えることでその組み合わせ論的な問題を調べ，特異点の条件をつけずにトーリック多様体の双対多様体の次元を記述することができた．また，その構造の幾何的な解釈も与えた．現在この結果を論文にまとめている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度はトーリック多様体のフロベニウス-セシャドリ定数を研究していたところ，直接その評価が得られたわけではないが，トーリック多様体の双対多様体について興味深い結果が得られたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
トーリック多様体のフロベニウス-セシャドリ定数について研究する予定である．特にフロベニウス-セシャドリ定数が小さい場合に，対応する多面体がケーリー構造を持つかを調べる．
また滑らかなトーリック多様体Xの双対多様体の次元については，対応する多面体の内点の情報を用いる記述も知られている．特異点の条件をつけずにその記述の一般化についても考える予定である．
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Research Products
(5 results)
