2014 Fiscal Year Annual Research Report
領域交差交換を要とした結び目・絡み目理論の発展と展開
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14J03667
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
橋爪 惠 奈良女子大学, 人間文化研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | 結び目 / 絡み目 / 射影図 / グラフ / 領域交差交換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究1.空間グラフ・仮想絡み目・グラフの研究に関する最新の情報を収集する．それらのダイアグラムの領域交差交換がどのようなふるまいをするのか調べる．
研究2. Curve complexの類似として各ダイアグラムに対して単体複体を導入する．この複体の構造を調べる.
領域交差交換はダイアグラムの交差の上下の情報を変えるがその射影図は変えない．そこで研究1,2に関して，領域交差交換を一般のグラフを最小種数の曲面上描いた図式に拡張することを考えた．領域交差交換はダイアグラムの各領域が定めるZ２線形写像と解釈できる．まずは一般の絡み目に対する，この写像の像と余核を調べた．これは次数が4の２次元球面に射影可能なグラフについて考察することと見なせる．これによって領域交差交換で交差交換できる交差の集合の幾何学的に意味のある表示を与え、さらに二つのダイアグラムが領域交差交換で移り合うという同値関係を考えたとき，同じ絡み目の射影図をもつダイアグラムの集合の同値関係による同値類に表示を与えた．この結果に関しては論文にまとめ出版準備中である([H1])．さらに，グラフ理論の研究者らと意見を交換することにより，結び目・絡み目のダイアグラムに対する領域交差交換の自然な定式化の拡張を考え，４価グラフを種数の高い曲面上に射影した図式に対する領域交差交換の振る舞いを上の写像として扱えるように定式化、考察した．また研究2に関しては複体の構造を調べる上で必要となるcurve complexに関する情報を収集した．
[H1] Hashizume M., On the image and the cokernel of homomorphism induced by region crossing change, in preparation
[H2] Hashizume M., On the homomorphism induced by region crossing change, JP. Jour. of Geom. and Top.Vol.14, Num.1,2013,pp29-37
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は絡み目を球面上に射影した図に対しての領域交差交換の理解を行った。具体的には領域交差交換から誘導されるダイアグラムの各領域が定めるZ２線形写像の像（image）の幾何学的に意味のある生成系の表示を与えたことと余核（cokernel）の構造を見いだした。このような結果をまとめるにあたって、自然な拡張ができるような設定が必要であった。そこで、結び目・絡み目の射影図は各頂点の次数が４のグラフと見なすことができることに注目して、種数が０ではない曲面に射影したグラフに対する領域交差交換について考察した。この研究を行う上で、グラフ理論や組み合わせ論、空間グラフ・仮想絡み目に関する多くの研究集会やセミナーに参加し、国内外の研究者らから情報を収集し、意見をかわすことができた。これらの結び目・絡み目理論の最新の情報は非常に有用であった。
さらに与えられた４価のグラフ射影図に持つ絡み目が領域交差交換で移り合う、という関係で誘導したで複体に関する研究に関してはcurve complexの最新の研究結果を集めることが必要であった。そこで研究集会「Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds」に参加しcurve complexに関する最新の情報を収集した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究をふまえ絡み目のダイアグラムに対して領域交差交換から誘導される写像（[H2]で定義した）の拡張を４価のグラフの一般の平曲面の射影図に対して拡張しその写像を調べることで４価のグラフの射影図に対する振る舞いを定式化し、それを用いた４価グラフの領域交差交換に関する基本的結果(写像の自明な変換を与える領域の代数的特徴付け等)を証明する.
結び目・絡み目のダイアグラムGが作る複体 C(G)の具体例を多数構成することにより,その性質に関する予想を立てる.また, curve complex の類似として C(G)に高次元単体を張り付ける方法について考察する. 以上の研究を行うために結び目理論・3 次元多様体論に関する研究集会に参加するとともに,この方面の研究者を訪問し,最新の情報を収集する.また,この方面に関する書籍を購入する.
[H2] Hashizume M., On the homomorphism induced by region crossing change, JP. Jour. of Geom. and Top.Vol.14, Num.1,2013,pp29-37
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Research Products
(4 results)
