Ｍｏｒｓｅ理論の様々な応用に関する研究

2015 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 14J07057
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 折田 龍馬 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2014-04-25 – 2017-03-31
• Keywords: 位相幾何学 / トポロジー / シンプレクティック多様体 / ハミルトン力学系 / ループ空間 / コンレイ予想 / フレアー理論 / トーラス

Outline of Annual Research Achievements

本年度は、ハミルトン力学系における非可縮な周期軌道の存在問題について考察した。

特に本年度の前半では、円筒と偶数次元トーラスの直積多様体において、ある自由ループのホモトピー類と、ある条件を満たす任意のハミルトン関数に対して、非可縮な周期軌道が存在することを示した（川崎盛通氏との共同研究）。これにより、M. Kawasakiによって定義された、単調な閉シンプレクティック多様体内の部分集合が「重い」かどうかを測る相対容量を、トーラスとその部分集合である「ゼロ切断」に対して具体的に計算することができた。

また本年度の後半では、トーラスとシンプレクティック非トーラス状な多様体の直積多様体に対して、非可縮軌道版Conley予想を示した。本来のConley予想は、多くのシンプレクティック多様体に対して肯定的に証明されており、「一つ（非可縮とは限らない）ハミルトン周期軌道が存在すれば、（非可縮とは限らない）ハミルトン周期軌道が無限個存在する」ということを主張している。
一方、非可縮軌道版Conley予想とは、「一つ非可縮なハミルトン周期軌道が存在すれば、非可縮なハミルトン周期軌道が無限個存在する」を指す。以前からこの主張は、V. GinzburgやB. Guerelらによって、シンプレクティック非トーラス状な多様体やトーラス状単調な閉シンプレクティック多様体に対して成り立つことが示されていた。今回得られた定理は、例えば彼らによって指摘されていた偶数次元トーラスを、非可縮軌道版Conley予想の適用対象に加える。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度の後半における研究成果は、具体的にはトーラスのループ空間の任意の連結成分の基本群を決定できたことに因る。ここで用いたのはかねてより応用先が望まれていたノビコフ・ボット型のフレアーホモロジーではなく、単にノビコフ型のフレアーホモロジーであった。しかしながら、この基本群の決定により、本年度の前半における研究の関連予想「偶数次元トーラスにおいて、任意の自由ループのホモトピー類と、ある条件を満たす任意のハミルトン関数に対して、非可縮な周期軌道が存在する」を、ノビコフ・ボット型のフレアーホモロジーを用いて解決することが期待される。

Strategy for Future Research Activity

【現在までの進捗状況】にて述べた、予想「偶数次元トーラスにおいて、任意の自由ループのホモトピー類と、ある条件を満たす任意のハミルトン関数に対して、非可縮な周期軌道が存在する」に取り組む。一方、今回証明することができたトーラス以外に対しても、非可縮軌道版Conley予想を満たすトーラス状単調でないシンプレクティック多様体の例を探し、より一般的な形で予想を肯定的に解決する。