2014 Fiscal Year Annual Research Report
組合せデザインの代数・幾何構造と最適組合せ符号への応用
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14J11700
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
盧 暁南 名古屋大学, 情報科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| Keywords | Affine-invariant / Steiner quadruple system / SQS / Cyclic SQS / 1-factor / Low-conflict code |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度, 私は以下の四点について研究を行なった:
(i) アフィン不変なスタイナー4重系(SQS)の再帰的構成. 私は昨年度までの研究において，位数が素数２倍のアフィン不変なスタイナー4重系(SQS)について，構成法を提案した．今年度は，さらに，位数が素数冪２倍のとき，円分剰余類の手法を用いると，SQSの具体的な構成法を与えた．
(ii) アフィン不変な2QS(2-fold quadruple system)の構成. アフィン不変なデイザンを検討する中で， 2QSについては，SQSによく似た条件を満たすとき，類似の構成法が適用可能であるため，あるグラフの１因子の存在を仮定したもとでアフィン不変な2QSの直接構成法と再帰的構成法を与えた．
(iii) 巡回SQS・アフィン不変なSQSに関するグラフの１因子と数論との関係. アフィン不変なSQSや2QSの存在は，あるCGというグラフの１因子の存在性に依存することが明らかにされている．更に，CGグラフとKohler(1979)が定義したKGグラフとの関係を解明し，同型であることを示した．
(iv) 低衝突符号の概念の導入と最大衝突回数２の最適な低衝突符号の構成. 情報通信における組合せ符号の一種の衝突回避符号を，より一般的に衝突数が少ない場合に拡張したいと考えている. また衝突を許さない場合には，送信できるユーザー数が少ないことが知られている．今年度の研究では，衝突回数が最大２回まで許される場合に，重み3と4の場合の構成法について検討した．その結果として，重み3の低衝突符号を衝突回避符号を用いて導くことができた．一方，重み4，符号長が素因子2と3しか持たない場合に，低衝突符号については，等差性に注目し，そこから得られるグラフ表現を用いて，最大符号語数の上限界値や符号語の選び方を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(i)(ii)については，当初の予想より多くの新しい結果が得られた．実際，これらの結果として，アフィン不変なデザインの無限系列ははじめです．その成果を2編の論文として投稿していた，その再帰的構成の手法を用いて，アフィン不変なSQSの存在性の必要条件も示した．
(iii)については，アフィン不変なSQSの存在するため，あるCGグラフの1因子の存在に帰着できていた．そのCGグラフが特殊な頂点を除いて3正則グラフであることを明らかにして，さらに，グラフの位数が10万程度まで計算機で調べて1因子の存在を確認できた，また，そのCGグラグの１因子と数論との関連を指摘し，今後，巡回SQSの研究に対して，新たな成果が生まれたと思われる．
(iv)については，組合せ符号の一種類として，衝突回避符号を一般化した低衝突符号の存在・構成問題についても結果を得て，現在論文としてまとめている．
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| Strategy for Future Research Activity |
(i)(ii)については，現在の研究における結果により，巡回SQS(又は2QS)や最適な光直交符号などの組合せ構造の新たな無限系列の存在・構成が得てゆきたい．また，アフィン不変なSQS(又は2QS)の新しい応用分野についても模索してみたい．
(iii)については，代数的なや解析整数論的な手法を用いて，アフィン不変なSQSに関するCGグラフにおける１因子の漸近存在性が言えるため，グラグの位数に関する新たな上下限界値を研究を行っていきたい．
(iv)については，重み4，符号長が素因子2と3しか持たない場合の低衝突等差符号については，最大符号語数の上限界値と構成が分かっている．更に，符号長がより一般な正整数の場合については今後の課題である．
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