2004 Fiscal Year Annual Research Report
種々の数学に現れるモジュラーおよび準モジュラー形式の研究とその応用
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15340014
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小池 正夫 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20022733)
脇本 實 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (00028218)
永友 清和 大阪大学, 大学院・情報科学研究科, 助教授 (90172543)
高田 敏恵 新潟大学, 理学部, 助教授 (40253398)
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| Keywords | モジュラー形式 / 準モジュラー形式 / 超幾何微分方程式 / アフィンスーパー代数 |
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| Research Abstract |
超特異楕円曲線のj不変量の研究で現れた、複素上半平面上の二階の微分方程式について、その様々なバリエーションを考えることで興味深い解の系列をいくつか発見した。その中で小池の導入したextremalという準モジュラー形式がこの型の微分方程式を満たしていること、そしてそのフーリエ係数について、正値性やその素因子について数論的な現象が観察された。
また代表者はもとの微分方程式の解から生じる特殊多項式について、そのガロア群を調べた。予想としてはすべて対称群になるのではないかと思っているが、それは証明できておらず、部分的結果に留まる。
さらに多重ゼータ値、L値の研究を通し、多重アイゼンシュタイン級数を導入、二重ゼータ値の空間の次元について、ザギエ予想の上限版を証明した。これはザギエの結果の別証明であるが、非常に明快に不等式を説明しており、さらなる一般化が望まれる。
小池は別に、ラマヌジャンの関係式をトンプソン級数に対して一般化した。
脇本はアフィンスーパー代数の指標公式のから、種々のモジュラー形式の公式を導いた。またそれにも関係するが、永友は共形場理論の立場から指標の持つ保型性を論じた。
高田はレシェチキン-チュラエフ不変量の計算を古典リー環の場合について行った。ここにもモジュラー形式が現れること、ザギエ-ローレンスの研究におけると同様と思われるが、これは次年度以降の課題として持ち越された。
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