偏微分方程式の解の空間臨界点および等位面の挙動と解の形状

2004 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15340047
• Research Institution: Ehime University
• Principal Investigator: 坂口 茂 愛媛大学, 理学部, 教授 (50215620)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 橋本 貴宏 愛媛大学, 理学部, 助手 (60291499) ; 三上 敏夫 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70229657)
• Keywords: 熱方程式 / 初期値問題 / 等温面 / 一様稠密領域 / 完備極小曲面 / 全曲率有限

Research Abstract

主な研究目的は、熱方程式の解の時刻に関して不変な等温面について調べることである。特に、Euclid空間の領域の特性関数を初期値とする熱方程式の初期値問題において、解の一つの等温面が時刻について不変であるときどのようなことが起こっているかを調べ、主に次の2つの新しい結果を得た(論文投稿中)。
1.N次元Euclid空間の領域Ωとある超曲面の開部分集合Γについて、ΩがΓにおいて一様稠密であるとは、Ωの境界∂ΩとΓとの距離Rより大きい数r(r=∞の場合も含める)が存在して、任意の数ρ∈(0,r)および任意の点x∈Γに対して、xを中心とする半径ρの球とΩの共通部分の体積が各点x∈Γに依存せず半径ρのみの関数になることをいう。特にr=∞のとき、領域Ωの特性関数を初期値とする熱方程式の初期値問題の解uについて、Γがuの不変な等温面であるための必要十分条件はΩがΓにおいて一様稠密であることである。一般に、rが有限な場合も含めて、ΩがΓにおいて一様稠密であるようなΓの滑らかさについて次の2つの結果を得た。
(i)R=0でΓ⊂∂Ωのとき、もし∂Ωが局所的に連続なグラフならばΓは実解析的である。
(ii)R>0であって、N次元Euclid空間のもう一つの領域Dについて、Ωの閉包とDの閉包が共通部分をもたず、Ωが内部球面条件、Dが内部円錐条件をそれぞれ満たすとき、もしΓ=∂DならばΓ00は実解析的である。
2.3次元Euclid空間に埋め込まれた全曲率有限な完備極小曲面をSとする。SによってEuclid空間は2つの領域に分割され、その一方をΩとするとS=∂Ωとなる。このときもしΩがSにおいて一様稠密ならばSは平面に限る。