2003 Fiscal Year Annual Research Report
悪条件の凸最適化問題に対する内点法とロバスト最適化の研究
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15510144
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| Research Institution | The Institute of Statistical Mathematics |
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Principal Investigator |
土谷 隆 統計数理研究所, 予測制御研究系, 教授 (00188575)
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| Keywords | 線形計画問題 / 中心曲線 / 主双対内点法 / 半正定値計画法 / 確率密度推定 |
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| Research Abstract |
A∈R^<mλn>,c.x.s∈R^n.b,y∈R^mとし,標準形線形計画問題{min C^Tx|Ax=b,x【greater than or equal】0}とその双対問題{max b^Ty,|c-A^Ty=s_1 s【greater than or equal】0}を考える.Mizuno-Todd-Ye予測子修正子法は,この問題の中心曲線{(x.s_1y)|x_is_i=v,i=1,....n Ax=b,x【greater than or equal】0,c-A^Ty=s.s【greater than or equal】0,v>0}を追跡することにより,線形計画問題を解く標準的内点法である.本年度は,線形計画問題の悪条件性を中心曲線の性質と関連づけて解析するために,Mizuno-Todd-Ye予測子修正子法の反復回数を,中心曲線上の積分を用いて表現することを試み,双対ギャップをμ1からμ2まで減少させるのに必要な反復回数が,アルゴリズムにおいて用いられる中心曲線の近傍の広さをrとした時に,漸近的に,1/r∫^<μ1>_<μ2>‖(x^・os^・)/v‖^<1/2>dvで与えられることを示した(oはx^・とs^・の要素ごとの積).この結果については、StoerやZhaoらによる類似の先行研究があるが,目的が異なるため,我々の導出は容易で分かり易いものとなっている.そして,我々が以前得たMizuno-Todd-Ye法の解析結果を用いて,この積分が任意のμ_1,μ_2>0について有限であることを示した.この積分の有限性を用いると中心曲線に対する新たな幾何学的に意味のあるパラメトライゼーションが得られる.このパラメトライゼーションに基づいて中心曲線の幾何学的性質や線形計画問題の悪条件性を議論することを考えており,現在論文を執筆中である.
また,半正定値計画法を利用することによる新たな確率密度推定法を提案した.この研究の過程において,解くべき半正定値計画問題は,しばしば悪条件のものとなり,求解困難となることを認識した.来年度は,この問題を解決するための研究も行いたい.
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[Publications] T.Sasakawa, T.Tsuchiya: "Optimal Magnetic Shield Design with Second-Order Cone Programming"SIAM Journal on Scientific computing. Vol.24,No.6. 1930-1950 (2003)
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[Publications] R.D.C.Monteiro, T.Tsuchiya: "A Variant of the Vavasis-Ye Layered-Step Interior-Point Algorithm for Linear Programming"SIAM Journal on Optimization. Vol.23,No.4. 1054-1079 (2003)
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[Publications] L.Faybusovich, T.Tsuchiya: "Primal-dual algorithms and infinite-dimensional Jordan algebras of finite Rank"Mathematical Programming. Vol.97,No.3. 471-493 (2003)
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[Publications] R.D.C.Monteiro, Jerome W.O'Neal, T.Tsuchiya: "Uniform Boundedness of a Preconditioned Normal Matrix Used in Interior Point Methods"SIAM Journal on Optimization. (掲載予定).
