2003 Fiscal Year Annual Research Report
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15540023
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
中島 啓 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00201666)
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| Keywords | 量子アファイン展開環 / モジュライ空間 / 分配関数 |
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| Research Abstract |
Jonathan Beckとの共同研究により,一般のアファイン・リー環の場合にU_q(g)の上三角部分環の結晶基底の具体的な記述を与えた.さらにこれを用いると一般の端ウェイト加群がレベル0基本表現のテンソル積に埋め込めるという結果を証明した.これはBeckと研究代表者によって対称なアファイン・リー環の場合に得られていた事実の拡張である.さらに,U_q(g)の結晶基底に関するセルについてのLusztigの予想を解決した.(Duke Math.に掲載される)
また量子アファイン展開環の有限次元表現について,そのq指標を計算するアルゴリズムをC言語で記述し,大型計算機で計算した.今まで計算が実行できていなかったE_8型のときも計算を実行したが,最終結果を得るまでには至らなかった.
一方,箙多様体の一番簡単な場合であるR^4上のインスタントンのモジュライ空間について,その同変基本類の母関数であるネクラソフの分配関数を研究した.
これは,ヤング図式に基づいた組み合わせ論的な表示式があり,数式処理のMAPLE言語を用いて大型計算機によって計算実験を行った.特に,その計算結果から分配関数が爆発公式をみたすこと,さらに爆発公式が分配関数を帰納的に決定することを予想した.そしてこの予想を実際に理論的に証明することに成功した.特に,分配関数のパラメータε_1,ε_2.に関する展開の極がサイバーグ・ウィッテンのプレポテンシャルに等しいというネクラソフの予想が正しいことを証明した.(神戸大吉岡との共同研究,論文投稿中)
さらに分配関数には,物質場をいれた場合,5次元(K理論)の場合など,いくつかのバージョンがあり,これらについての爆発公式を上と同様のMAPLEのプログラムで実験した.理論的に証明することにも成功したものもあるが,いくつかの場合についてはできていない.
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Research Products
(8 results)
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[Publications] Hiraku Nakajima: "Quiver varieties and t-analogs of q-characters of quantum affine algebras"Ann.of Math.. (to appear).
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[Publications] Hiraku Nakajima: "Extremal weight modules of quantum affine algebras"Advanced Studies in Pure Mathematics, Representation Theory of Algebraic Groups and Quantum Groups. (to appear).
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[Publications] Hiraku Nakajima: "t-analogs of q-characters of quantum affine algebras of type A_n, D_n"Contemporary Math.. 325. 141-160 (2003)
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[Publications] Hiraku Nakajima: "Geometric construction of representations of affine algebras"Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol.I(Beijing,2002). 423-438
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[Publications] Hiraku Nakajima: "Convolution on homology groups of moduli spaces of sheaves on K3 surfaces"Contemp.Math.. 322. 75-87 (2003)
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[Publications] Jonathan Beck: "Crystal bases and two-sided cells of quantum affine algebras"Duke Math.Jour.. (to appear).
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[Publications] Hiraku Nakajima: "Cells in quantum affine algebras"Proceedings of the International Conference on Algebra, Suzhou. (to appear).
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[Publications] Hiraku Nakajima: "Lectures on instanton counting"Proceedings of "Workshop on algebraic structures and moduli spaces",Montreal 2003. (to appear).
