hook length posetの組合せ論的及び表現論的研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540028
• Research Institution: Wakayama University
• Principal Investigator: 田川 裕之 和歌山大学, 教育学部, 助教授 (80283943)
• Keywords: hook length poset / hook length formula / d-complete poset / Coxeter group

Research Abstract

1982年,B.Saganによって導入されたhook length posetは「P-partitionの母関数がq-整数を用いた積の形で表される」といった性質をもっている.他方,d-complete posetは,hook length posetとなることが知られており,15系列に完全に分類されている。また,d-complete posetのlinear extensionはCoxeter groupのminuscule elementの最短表示と対応している。以上のことを考慮した上で「hook length posetの完全な分類」と「hook length posetの組合せ論的構造と表現論的意味付け」を目的とした研究を行い,今年度は主として下記の結果を得た.
1.一般のd-complete posetに対するq-hook length formulaの多変数化を行うためには,slunt irreducibleなd-complete posetのacyclic elementにchainをつけたposetに対してのみ多変数化ができればよいことを示した.この結果を踏まえて,15系列のd-complete posetそれぞれに対するq-hook length formulaの多変数化にとりかかり,今年度はBirds, Insetsのq-hook length formulaの多変数化を行った.Insetsの多変数化の系として,一変数のq-hook length formulaの簡略な証明もみつかった.
2.Coxeter groupの(λ-)minuscule elementはfully commutative elementであり,対称群のfully commutative elementと321-avoiding permutationの同値性も知られている.そこで,鳥取大学の石川氏,東京大学の萩原氏と共同研究を行い,321-avoiding permutationの拡張であるfully covering elementといったものをCoxeter groupに対して導入し,fully commutative elementとfully covering elementの一致するCoxeter groupはA, D, E型Coxeter groupに限られることを証明した.