ワイル群不変なジャクソン積分の無限積公式の解明とその応用

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540045
• Research Institution: Aoyama Gakuin University
• Principal Investigator: 伊藤 雅彦 青山学院大学, 理工学部, 助教授 (30348461)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 伊原 信一郎 青山学院大学, 理工学部, 教授 (30012347) ; 小池 和彦 青山学院大学, 理工学部, 教授 (70146306) ; 谷口 健二 青山学院大学, 理工学部, 助教授 (20306492) ; 木村 勇 青山学院大学, 理工学部, 助手 (40082820) ; 矢野 公一 青山学院大学, 理工学部, 教授 (60114691)
• Keywords: ジャクソン積分 / ワイル群対称性 / 漸近展開 / 楕円テータ関数 / カロジェロモデル / 可換微分作用素系

Research Abstract

研究代表者伊藤は今年度、2つの結果を得た。1つはBC_n型ジャクソン積分の定義を与え、その積分が無限積表示できる場合をパラメータの個数によって分類した。その分類はルート系のランクが一般のときには、2種類のタイプがあり、それぞれvan Diejenの公式、Gustafsonの公式に対応する。それら2つの公式はそれまで個々に研究されていたが、BC_n型ジャクソン積分の概念によって統一的に見ることができる。これが主結果であるが、その他にルート系のランクが低い場合に、BC_n型ジャクソン積分は例外的に3種のタイプの無限積表示公式をもつことも示した。これらはNasrallah-Rahman積分との類似があることも示した。その性質は今後の研究で明らかにしたい。
2つ目の結果は、一般のルート系に付随したジャクソン積分の漸近展開に関するものである。ジャクソン積分の無限積表示公式を得るには、技術的に2つのことが必要になる。1つは、パラメータに関する差分方程式を求めることで、もう1つは、パラメータを無限遠にしたときの漸近展開の主要項を求めることである。一般のルート系に対しジャクソン積分の漸近展開の主要項を求めることは難しい問題であるが、楕円テータ関数の性質を駆使して、長い計算の末に、それを実行した。途中の計算は複雑にもかかわらず、結果的に得た主要項はとてもシンプルな形をしている。そのことを利用して、ルート系F_4に対する無限積表示公式が新しく発見された。
研究分担者谷口は、可換微分作用素系の対称性について研究した。そのポテンシャル関数が、原点を通るいくつかの超平面に沿って逆2乗型特異性を持つようなシュレーディンガー作用素の交換子を調べた。その結果、この特異性と結合定数の非整数性から、ポテンシャル関数や交換子のワイル群対称性が帰結されることを示した。

Research Products

• [Publications] Masahiko ITO: "Symmetry classification for Jackson integrals associated with the root system BCn"Compositio Mathematica. 136. 209-216 (2003)
• [Publications] Masahiko ITO: "Convergence and asymptotic behavior of Jackson integrals associated with irreducible reduced root systems"Journal of Approximation Theory. 124. 154-180 (2003)
• [Publications] Kenji TANIGUCHI: "On the symmetry of commuting differential operators with singularities along hyperplanes"International Mathematics Research Notices. To appear. (2004)