トーションフリーランク1のアーベル群

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540052
• Research Institution: Toba National College of Maritime Technology
• Principal Investigator: 奥山 京 鳥羽商船高等専門学校, 一般教育, 助教授 (20177190)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 平野 康之 岡山大学, 理学部, 助教授 (90144732) ; 佐波 学 鳥羽商船高等専門学校, 一般教育, 講師 (10226029) ; 名城 紘昭 鳥羽商船高等専門学校, 一般教育, 教授 (40043252)
• Keywords: 最大トーション部分群 / トーションフリー部分群 / T高部分群 / トーションフリーランク / 高度行列 / ウルム・カプランスキー・インバリアント / タイプ / 可除群

Research Abstract

一般のアーベル群Gにおいて、最大トーション部分群Tが必ずただ1つ存在する。A∩T=0となる部分群Aの中で極大な部分群をT高部分群という。T高部分群の存在はZornの補題で保証されている。そこで、「T高部分群がすべて同型となる群Gを決定せよ」という問題がある。本研究の出発点はこの問題にある。そこで本研究では、群Gのトーションフリーランクが1のときを考察した。その結果次のような成果を得た。
(1)トーソンフリーランク1の群Gにおいて、T高部分群の中に必ずタイプが最低となるT高部分群が存在する。
(2)(1)の結果を用いて、T高部分群がすべて同型となるトーションフリーランク1の群Gを決定した。
また、トーション群における基部分群の概念を一般のアーベル群Gに紘張した。アーベル群Gにおけるそのような部分群を混合基部分群と名付ける。すると一般のアーベル群Gにおいて、必ずしもすべての混合基部分群は同型とならない。その例を構成した。次年度は一般のアーベル群における混合基部分群とp基部分群の関係について調べる。また純粋包・準純粋包をもつ部分群の研究に、この混合基部分群の概念が導入できないかを調べる予定である。
純粋包・準純粋包をもつ部分群の研究においては、アーベル群Gの最大トーション部分群Tが、トーションコンプリート群であるとき、すべての部分群が準純粋包をもたないか、という問題も次年度の課題となることがわかった。

Research Products

• [Publications] 奥山 京: "Splitting Mixed Groups of Finite Torsion-Free Rank"Communications in Algebra. 32・4. 1587-1601 (2004)
• [Publications] 奥山 京: "Puridiable Subgroups II"Hokkaido Mathematial Journal. 未定.