結び目および絡み目の有限デーン手術の研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540061
• Research Institution: Saitama University
• Principal Investigator: 下川 航也 埼玉大学, 理学部, 助教授 (60312633)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 長瀬 正義 埼玉大学, 理学部, 教授 (30175509) ; 阪本 邦夫 埼玉大学, 理学部, 教授 (70089829) ; 水谷 忠良 埼玉大学, 理学部, 教授 (20080492) ; 江頭 信二 埼玉大学, 理学部, 助手 (00261876)
• Keywords: 3次元多様体論 / 結び目理論 / デーン手術

Research Abstract

結び目の有限デーン手術やザイフェルト多様体を生成する手術をもつ結び目の具体例に対し、本質的曲面の境界スロープとの関係を求めた。それらの例に付いては、予想通り、有限デーン手術やザイフェルト多様体を生成する手術のスロープは、境界スロープの間に見つかることを確認できた。
有限デーン手術に関する研究は、結び目が含まれる多様体はある程度一般的な多様体を考える場合が多い。しかし、結び目が3次元球面に含まれる場合は、一般の場合より有限デーン手術が起こりづらく、それを示すような予想もいくつか挙げられている。例えば、3次元球面内の結び目が有限デーン手術を持てば、それはファイバー結び目であるという予想や、さらに、そのデーン手術係数は整数であるという予想である。その為に、3次元球面内の結び目に特徴的な性質を求める必要がある。そこで、結び目が3次元球面の良い単体分割の辺によって構成されている場合の特徴付けを行った。
この研究の内容は次の通りである。まず、3次元球面に構成可能と言われる単体分割を取る。そして、結び目がその辺で構成され、その本数をeとする。さらに、その結び目の橋指数をbとおく。このとき、e【greater than or similar】2bが成立する。証明の方法は次の通り。3次元球面の単体分割が構成可能であるとき、それを構成可能という性質を保ちながら、3次元球面をいくつかの3次元球体に分割することが出来る。その際に、結び目はタングルに分割されるが、タングルに橋指数を定義し、その変化を詳細に調べたというものである。この研究の発展として、デーン手術との関連付けを研究中である。

Research Products

• [Publications] Masahiro Hachimori, Koya Shimokawa: "Tangle sum and constructible spheres"Journal of Knot Theory and Its Ramifications. 13(掲載決定). (2004)
• [Publications] Kunio Sakamoto: "Variational problems of normal curvature tensor and concircular scalar fields"Tohoku Mathematical Journal. 55. 207-254 (2003)