2004 Fiscal Year Annual Research Report

シンプレクティック空間の不変量とその表現論的構造の研究

Research Project

Project/Area Number	15540092
Research Institution	CHUO UNIVERSITY
Principal Investigator	高倉樹中央大学, 理工学部, 助教授 (30268974)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	三好重明中央大学, 理工学部, 教授 (60166212) 落合啓之名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (90214163)
Keywords	シンプレクティック多様体 / 運動量写像 / シンプレクティック商 / 余随伴軌道 / 指標公式 / フェアリンデの等式 / 超幾何関数
Research Abstract	研究計画調書に記したテーマのうち、シンプレクティック商の不変量の解析に関して、研究代表者・高倉は、鈴木太郎との共同研究によりいくつかの結果を得た。第一に、任意の単連結コンパクト単純リー群の余随伴軌道の直積からシンプレクティック商として得られる多様体について、そのシンプレクティック体積およびコホモロジー交叉積の母関数を無限和の形に表す一般的な公式が得られた。これは2次元特殊ユニタリ群の場合の、高倉による以前の結果の一般化になっている。証明は、複素単純リー環の既約表現のテンソル積における自明表現の重複度およびその漸近挙動を、アフィン・リー環に対するフェアリンデの等式を用いて解析することによりなされる。なおこの結果は、2次元ヤン・ミルズ理論におけるウィッテンの体積公式の類似とみなすことができる。さて、3次元特殊ユニタリ群の場合に上記の無限和を有限和の形に表す公式が昨年度得られていたが、本年度は極大トーラスの作用によるシンプレクティック商の場合も含めて、同様の公式をより統一的に導いた。なお、これには(未発表のものを含めて)複数の証明方法がある。それらの間の関係を明らかにすること、高次元特殊ユニタリ群あるいは任意のコンパクト単純リー群への一般化、さらには超幾何関数論との関連を明らかにすること、が今後の課題として明確になった。この他に、研究分担者・三好は、曲面束のオイラー類の滑らかな表現可能性に関する結果を本年度発表した。また、研究分担者・落合は、非可換調和振動子と微分方程式の接続問題に関する結果、および有限なモノドロミーをもつ超幾何関数に付随する多項式についての結果(吉田正章との共同研究)を本年度発表した。