2003 Fiscal Year Annual Research Report
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15540137
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| Research Institution | Kogakuin University |
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Principal Investigator |
金子 篤司 工学院大学, 工学部, 助教授 (30255608)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
加納 幹雄 茨城大学, 工学部, 教授 (20099823)
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| Keywords | グラフ / 離散幾何学 / 平面 / 2種点集合 / 幾何グラフ / 交差 |
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| Research Abstract |
平面状の2種点集合(ここでは赤点と青点の集合とする)の研究でいくつかの大きな進展があった。
特に、赤点と青点を交互に直線で結び、かつ各辺が交差しないという条件の下ですべての頂点を被覆するpathの集合で要素が最小の集合を見つける問題を完全に解決した。この問題解決のキーは2種点集合の要素の差が1以下の場合、1.総数が12点以下では、常に1個のpathで被覆できる
2.13点では1個のpathで被覆できない例がある
3.14点では、常に1個のpathで被覆できる
4.15点以上では1個のpathで被覆できない例があることを各々、個々に示すことである。
証明は煩雑な場合分けが必要であるが、基本的には数学的帰納法で証明できる。
(例外をすべて決定することは我々の方法では困難であり、新しいアイデアを必要とするように思われる。)
以上の現象の解明により、一般的にはhamilton pathで2種点集合を被覆できないことがわかったが、これは言い換えれば、最大次数2以下の木、一個ではすべての頂点を被覆できないということであるが。最大次数が3以下の木では差が1以下では、一個の木ですべての頂点が被覆できることは、以前研究代表者が証明しているので、最大次数による一般化の理論はある意味完成しているといえる。
現在3種以上の点集合という一般化に対しどのような現象が成り立つか研究を開始している。
単色木については、3種以上の点集合に対して、有名なtokunagaの結果(2種単色木の交差数を完全に決定した結果)が成立しない例がある。このため、交互の木と単色木についての統一した観点による一般論は困難と思われるが、3種以上の点集合の研究は幾何グラフの理論の根底にある豊かさを示すよい例となると思われる。
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[Publications] A.Kaneko, M.Kano, K.Suzuki: "Path coverings of two sets of points in the plane"Towards a Theory of Geometric Graphs (Contemporary Mathematics (American Mathematical Society)). Vol 342. 56-63 (2003)
