分割表のランダム生成に対する代数的アプローチを用いたマルコフ連鎖構築

2005 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540138
• Research Institution: Tokai University
• Principal Investigator: 渡辺 純三 東海大学, 理学部, 教授 (40022727)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 鳥越 規夫 東海大学, 理学部, 講師 (40297180)
• Keywords: ヒルベルト関数 / 0次元ゴレンスタイン環 / 正整数の分割 / ヤング図形 / ワイルの相互法則 / 対称群

Research Abstract

本研究期間に得た主な結果は、以下のとおりです。
1.0次元ゴレンスタイン環の一次式を固定することにより、中心的単純加群が定義される。それらは、対称的なヒルベルト関数を有する。
2.そのことから、各々の中心的単純加群に対して、「強いレフシェツ条件」を定義することができる。しかも、ひとつの一次式を固定するとき、中心的単純加群が強いレフシェツ条件を満たすという条件から、ゴレンスタイン環自身の「強いレフシェツ条件」を導くことができる。
3.ベキゼロ行列の交換子代数を決定し、その、ゼロ根基を決定できる。
4.上記の事実の応用として、さまざまの「強いレフシェツ条件」をもつ、完全交差環の例を構成することができる。
5.対称群が作用するゴレンスタイン環を考えると、「強いレフシェツ元」の存在から、対称群の既約分解にたいする強力な方法がえられる。この方法により、Schur-Wey1の相互法則にたいする可換環論的、乃至、ホモロジー代数的な方法が有効となる。それは、Schur-Wey1の相互法則の一般化につながる。Wey1の次元公式と、Hook-Length-formulaのq類似が可換間論的な意味を持ち始める。
今後の研究課題としては、次のことが考えられる。
1.対称群の作用をもつ完全交差環を考え、それに対してヤング対称子を施して得られるベクトル空間は、ある種の代数群の作用をもつと期待できる。その代数群が如何なるものであるかを追求することは、きわめて興味深いものである。候補としては、(1)偏微分オペレータ作用素環の乗法群、(2)その環自身の乗法群とその相対が生成するGL(A)のなかのある形の部分群などが考えられる。
2.次数突き代数に対して定義される強いレフシェツ条件の定義を一般の正則局所環に拡張する。