2003 Fiscal Year Annual Research Report
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15540164
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
大鍛治 隆司 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20160426)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
西田 孝明 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70026110)
井川 満 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80028191)
山田 修宣 立命館大学, 理工学部, 教授 (70066744)
小池 達也 京都大学, 大学院・理学研究科, 助手 (80324599)
谷口 雅彦 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50108974)
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| Keywords | ディラック作用素 / スペクトル問題 / 固有値の非存在 / レゾナンス / 一意接続定理 / 非相対論的極限 |
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| Research Abstract |
研究代表者大鍛治は、1階楕円型システムの内、数理物理学における重要な方程式であるディラック方程式およびその一般化であるディラック型方程式について、固有値の非存在、スペクトルの絶対連続性、レゾナンス等の種々のスペクトル問題について考察した。さらに、ディラック型作用素の非相対論的極限についても考察を行った。
まず固有値の非存在については、ミュンヘン大学のH.Kalf氏、研究分担者の山田修宣氏と共同研究を行い、その結果無限遠で発散するポテンシャルを持つ場合に、Dirac作用素が固有値を持たないための非常に優れた十分条件を求めることができた。この証明の過程において、virial定理に基づくある重み付きのL-2不等式を導き、証明の最終段階では、従前に得られていた解の一意接続性が重要な役割を果たした。さらに研究代表者大鍛治は、Dirac作用素の変数係数版にあたる、いわゆるDirac型作用素についても、先の共同研究の結果を拡張することに成功した。この結果の証明の最終段階では、新たに確立したDirac型作用素に対する強一意接続性定理をもちいた。また、研究代表者大鍛治は、ポテンシャルが無限遠で発散する場合について、ディラック作用素に対する極限吸収原理を示し、そのスペクトルが絶対連続であることを明らかにした。
先の結果より、ポテンシャルが発散するとき、ディラック型作用素は固有値を持たないことがわかるが、一方、光速が無限大になる時、その極限作用素となるシュレディンガー型作用素は固有値を持つことが知られている。この現象の本質を明らかにするため、ディラック型作用素はレゾナンスを持つこと、さらに、光速が無限大になる時(非相対論的極限)、これらのレゾナンスが先のシュレディンガー型作用素の固有値に収束することを示した。
また山田氏は、生駒真氏との共同研究において、Aharonov-Bohm磁場を持つディラック作用素の一意接続定理を示すことに成功した。
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Research Products
(4 results)
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[Publications] Ikoma, Makoto: "Strong unique continuation property of two-dimensional Dirac equations with Aharonov-Bohm fields"Proc.Japan Acad.Ser.A Math.Sci.. 79・9. 158-161 (2003)
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[Publications] Kalf, Hubert: "Absence of eigenvalues of Dirac operators with potentials"Math.Nachr.. 259. 19-41 (2003)
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[Publications] Taniguchi, Masahiko: "Size of the Julia set of structurally finite transcendental entire function"Math.Proc.Cambridge Philos.Soc.. 135・1. 181-192 (2003)
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[Publications] Aoki, Takashi: "On the exact WKB analysis of operators admitting infinitely many phases"Adv.Math.. 181・1. 165-189 (2004)
