無限階擬微分方程式の完全WKB解析

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15540190
• Research Institution: Kinki University
• Principal Investigator: 青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 教授 (80159285)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 山崎 晋 日本大学, 理工学部, 講師 (00349953) ; 大野 泰生 近畿大学, 理工学部, 講師 (70330230) ; 泉 脩藏 近畿大学, 理工学部, 教授 (80025410)
• Keywords: 完全WKB解析 / WKB解 / 変わり点 / 局処理論 / ストークス曲線 / 接続問題 / 無限階擬微分方程式 / 高階微分方程式

Research Abstract

当研究の目標は、無限階の擬微分方程式に対して完全WKB解析を確立し、その応用を研究することであるが、これに関して次のような結果を得た:
・これまでの研究において、無限階微分方程式に対する完全WKB解析の基礎理論は、局所理論に関しては、ほぼ満足のいく形で得られている。すなわちWKB型作用素と呼ばれるカテゴリーに属する作用素に関しては、変わり点、ストークス曲線といった基礎概念を定義でき、単純変わり点の近傍における標準形が得られている。擬微分方程式に対してもこれと全く同様のことが言える。すなわち、WKB型無限擬微分作用素という概念を適切に設定すると、微分作用素の場合と同様の局所理論が展開できる。実際、変わり点、ストークス曲線は全く同じく定義でき、単純変わり点の近傍で、作用素はエアリー型微分方程式に変換可能である。これは無限階擬微分作用素に対する割り算定理から導くことができる。
・完全WKB解析の大きな応用は微分方程式の接続問題である。そして接続問題の応用として多重ゼータ値に関する等式を得た。通常の多重ゼータ値における和を取る範囲を等号付きに変えて得られるものを考えると、重さと高さを固定した和がリーマンゼータ値の有理数倍で書けるということを証明した。この証明にはある種の非斉次フックス型微分方程式の特殊値が使われるが、その特殊値を求める際にガウスの超幾何関数の特殊値を与えるガウスの公式が用いられる。このようにして得られた等号付き多重ゼータ値の関係式族は、従来得られている様々な線型関係式族には含まれない、新しい関係式を生成している。なぜ多重ゼータ値の関係式が微分方程式の接続公式と関連するのかという理由については、今のところ十分に明快な説明がなされているとはいえない。今後の研究課題である。

Research Products

• [Publications] M.Hoffman, Y.Ohno: "Relations of multiple zeta values and their algebraic expression"Journal of Algebra. 262. 332-347 (2003)
• [Publications] T.Aoki, T.Kawai, T.Koike, Y.Takei: "On the WKB analysis of operators admitting infinitely many phases"Advances in Mathematics. 181. 165-189 (2004)
• [Publications] T.Aoki, Y.Ohno: "Sum relations for multiple zeta values and connection formulas for the Gauss hypergeometric functions"Publications of RIMS. (発表予定).