ヒルベルト空間における不変部分空間の問題とその周辺

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15740097
• Research Institution: Tsuruoka National College of Technology
• Principal Investigator: 大和田 智義 鶴岡工業高等専門学校, 機械工学科, 助教授 (50321386)
• Keywords: crossed products / von Neumann algebras / analytic crossed products / analytic subalgebras / semigroups / maximality

Research Abstract

本研究の目的は,ヒルベルト空間における不変部分空間の問題に関連して,自己共役でない作用素環の構造を詳細に調べると共に,それに関する不変部分空間の構造解析を行うものである.解析的接合積は接合積の自己共役でない部分環としてよく知られていて,これまでに多くの興味深い結果が得られている.その一方で解析的部分環はArvesonによるスペクトル解析の研究に動機付けられ,作用素環における解析性の研究を中心に不変部分空間の構造や分解性そして極大性など様々な研究が盛んに行われてきた.離散群による解析的接合積はLoeblとMuhlyによってその相対作用による解析的部分環になることが知られていたが,一般の場合はまだ未解決であった.そこでこの問題を解析的接合積と解析的部分環との同型問題と捉えて,解析的部分環が解析的接合積と同型であるための必要十分条件を与えた.この結果の系として一般の局所コンパクト群に対する解析的接合積もその相対作用による解析的部分環として表わされることが分かった.またこれらの結果の応用としてR作用による接合積における部分環の構造解析をおこなった.解析的部分環を含むσ弱閉部分環はある作用に関する解析的部分環として表すことができることは知られていたが,解析的接合積の場合にはこのタイプの結果は得られていなかった.そこで解析的接合積を含むσ弱閉部分環がある作用に関する接合積として表すことが出来るかを問題として考えて,一般的には成立しないことを示すと共に,III型因子環の接合積による連続分解を考えたとき,上の問題の否定的な例を与えることを示した.また,解析的接合積の極大性の問題をsemigroupの観点から捉えて見直した.Archimedean totally orderを引き起こすsemigroupによる解析的接合積を考えたとき,そのdiagonalが因子環であることと解析的接合積が極大であることは知られていたが,一般のsemigroupに関して同様の結果が成立するかは興味深い問題である.そこで解析的接合積のdiagonalが因子環であるとき解析的接合積が極大なら,付随するsemigroupはどのような条件を満たさなければならないかを考え,archimedean totally orderを引き起こす場合に限ることを証明した.この解析に誘発されてsemigroupに着目した接合積の部分環の構造解析も行いその構造をより詳細に調べることに成功した.

Research Products

• [Publications] T.Ohwada, G.Ji, K-S Saito: "Invariant subspaces and representations of certain von Neumann algebras"Proceedings of the American Mathematical Society. 129. 3501-3510 (2001)
• [Publications] T.Ohwada, K-S Saito: "Factorization in analytic crossed products"Journal of the Mathematical Society of Japan. 54. 21-33 (2002)