特異ポテンシャルにおけるハミルトン系に対する変分的研究

2003 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15740112
• Research Institution: Shizuoka University
• Principal Investigator: 足達 慎二 静岡大学, 工学部, 助教授 (40339685)
• Keywords: 特異ハミルトン系 / deformation flow / 変分法

Research Abstract

今年度は特異ハミルトン系の周期軌道存在問題について,特異点が1点のみの場合ではなくコンパクト集合をなす場合について研究を行った.特にweak force条件下でエネルギー保存量が正の周期軌道存在問題を変分的アプローチにより研究した.変分的手法による存在証明でキーとなるのは
1.修正汎関数に対するdeformation flowの大域存在性
2.修正汎関数のcritical valueの下からの一様評価
3.極限換作の際,弱極限が特異点集合と衝突をおこしていないか
など挙げられる.1及び3に関しては従来多くの研究結果がある特異点が1点のみの場合を参考にすることにより解決することができた.2は特異点集合がコンパクト集合を成すという仮定の本質的な部分であり,特異点集合の周りを回る軌道はある程度のエネルギーが必要になるという自然な結果を導くことができた.これによりcritical valueの下からの一様評価が得られた.従来の特異点が1点のみの場合,weak force条件下ではエネルギー保存量が負の周期軌道の存在が自然であり,今回得られた結果はエネルギー保存量の観点からみると非常に対照的で興味探い結果となっている.この結果に関しては現在論文にまとめている最中である.また.今回の結果に関しては10月に都立大で行われた変分問題セミナーなどで講演を行い,そこでの議論が新たな研究を進める上で大いに役に立った.
今後の具体的な研究計画としては,今回得られた周期軌道のコンパクト集合を1点集合に近づけたときの漸近挙動や,エネルギー保存量が負の周期軌道の存在についての研究をすすめていきたい.