非線形偏微分方程式の大域的性質を保存する数値解法導出のための離散変分法の研究

2004 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15760044
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 助教授 (80242014)
• Keywords: 非線型偏微分方程式 / 離散変分法 / 保存則 / 差分法 / モデリング / Breather

Research Abstract

本年度の目的は,これまでの研究結果をふまえた上で離散変分法が適用できる問題をより多く発見すること,離散変分法の考え方を逆に利用したモデリングという概念が有効であるかどうかを探ることに加え,得られる数値スキームを理論的に解析するとともに実際に数値計算を行ない,具体的な貢献をすることであった.この目的のもと研究を行い,いくつかの新しい知見を得た.まず,初年度より継続して,他分野の文献及び研究集会などを調査し,変分概念により導出が可能なモデリングないしは結果としての方程式を探索した.その結果,離散変分法が適用可能な非線形偏微分方程式としてこれまでに発見された多数の方程式に加えてDrift-Diffusion方程式,非線型長波長近似breather方程式(Bao-Feng Feng方程式),有髄神経モデル方程式などを発見した.特にこの結果は,離散変分法の適用範囲の広さを示すのみでなく,離散変分法そのものの拡張の手がかりとなった.具体的には,Bao-Feng Feng方程式の形式を一般化することにより,離散変分概念をより一般化し,離散変分法を拡張することに成功した.この結果は非常に重要であり,これからの発展の理論的基礎となるものと思われる.また,モデリングに関しては,蛇行流現象に対して変分概念から得た新たなモデルを詳細に調査し,変分概念からのモデリングという手法が有効であることを示した.さらに数値計算に関しては,上記のDrift-Diffusion方程式,Bao-Feng Feng方程式および蛇行流モデル方程式,さらにAllen-Cahn方程式に関して離散変分法を適用して具体的に数値計算を行い,いずれも非常に良好な結果を得た.この結果は,本研究の最終目的である数値計算手法としての貢献を強く示すものである.以上の結果より,本年度は当初の計画に見込まれた多くの結果が得られたと評価できると考えるものである.