箙ヘッケ代数の表現論

2015 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 15F15017
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 有木 進 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (40212641)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): SPEYER LIRON 大阪大学, 情報科学研究科, 外国人特別研究員
• Project Period (FY): 2015-10-09 – 2018-03-31
• Keywords: 有限箙ヘッケ代数 / スペヒト加群

Outline of Annual Research Achievements

量子群の可積分加群の圏化理論から生まれた円分箙ヘッケ代数は、近年いくつかの研究グループにより積極的に研究が行われている興味深い研究対象であり、ブロック代数が可積分加群の重み空間を圏化すると期待されている。実際、対称群の群代数やヘッケ代数のブロック代数の場合は基本加群の重み空間を圏化しており、またB型ワイル群の群代数やB型ヘッケ代数のブロック代数の場合にはレベル２の可積分加群の重み空間を圏化している。とくに後者の関係を用いることによりB型ヘッケ代数のモジュラー表現における未解決問題が種々解決されてきた。しかしこれらはすべてアフィンA型の量子群の可積分加群の圏化理論の応用であり、他のアフィン型の量子群の圏化から現れる円分箙ヘッケ代数に対しアフィンA型と同様の実り豊かな理論を期待することは自然である。本研究ではアフィンC型に注目し、アフィンA型の場合に展開されてきたスペヒト加群理論を参考にしながら、アフィンC型に対してスペヒト加群理論を構築しようと計画されたものである。本研究で最初に取り組んでいる課題は、C無限型の有限箙ヘッケ代数に対してそのスペヒト加群を考察し、スペヒト加群の次元が期待された通り標準盤の個数に一致することを示すことであるが、この半年間は置換加群の部分加群による商という観点から証明方針を詳しく調べた。その結果、２つのGarnir beltが交わる場合にweak Bruhat orderでのjoinの具体的記述をもとに計算すると証明可能であるとの方針が立った。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

C無限型有限箙ヘッケ代数のスペヒト加群の次元について有望な証明の方針が見つかったため

Strategy for Future Research Activity

スペヒト加群の次元の決定について、この半年間の研究で得られた結果を整理して厳密な証明として構成した上で、次の段階では有限箙ヘッケ代数のSpecht filtrationの存在について考察する。