2015 Fiscal Year Annual Research Report
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15H02050
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
辻 雄 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40252530)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | p進表現 / perverse層 / 数論的D加群 / Higgs束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
p進整数環上のスムース・スキーム上のp進エタールperverse層と数論的D加群について前年度から継続して研究し，単純正規交叉因子から定まるstratificationに沿って特異性をもつ場合に, crystalline p進perverse層とそれに伴う数論的D加群 (filtration, Frobenius付き)のコホモロジーの比較定理（Faltingsの定理（crystalline予想）の一般化）の証明を完成した．この研究成果についてCIRM, Luminy（フランス）及びUtah大学（アメリカ合衆国）で開催された国際研究集会にて発表した．後者の渡航費は本科研費による．上の定理はp進perverse層側ではそのコホロジーをlog p進局所系の理論を用いて記述するこれまでの研究代表者の研究が基礎となっている．その基礎理論の論文の執筆を行った．2014年のLaurent Berger氏の招聘を機にLubin-Tate拡大の局所岩澤理論をBerger氏の導入した多変数(φ,Γ)加群の観点から共同研究を行っている．本科研費を用いて１月に２週間ENS Lyonを訪問しこの共同研究を進めた．(φ,Γ)加群を形式群の局所モジュライ空間（やや異なる方向への多変数化）を構築するというBerger氏のアイデアに基づいて研究を行い，通常のLubin-Tate(φ,Γ)加群及びその岩澤加群の，形式群の局所モジュライ空間への自然な持ち上げがあることが明らかになった．局所モジュライ空間を用いたcrystalline p進表現の明示的相互法則の定式化とその研究（自明な表現の場合の自身の結果の一般化）への応用が期待される．持ち上げた(φ,Γ)加群の過収束性，上記の応用の研究及びBergerの多変数変(φ,Γ)加群との関係を明らかにすることなどが今後の課題である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究業績で述べた比較定理の証明の完成は当初の計画通りである．構成した比較写像のコホモロジーの積構造との両立性が比較写像の構成法からは明らかではないという困難があったが，概ね順調に研究が進んだ．p進perverse層やそのコホモロジーを多様体上大域的にlog p進局所系の理論を用いて記述する基礎理論の論文は2015年度中に完成する予定であったが，執筆が遅れ未完成である．その基礎となっているEkedahlのadic formalismの詳細の理解が難しく，論文で扱いやすい形に定式化を整理していたところ，Ekedahlの原論文にそのままでは定理が成立しない箇所があることが判明したのが一因である．この問題点は完全に修正され論文に執筆済みである．Lubin-Tate形式群の岩澤理論の研究は，当初その研究の方向性すらはっきりしなかったが，(φ,Γ)加群の理論やその岩澤加群を形式群の局所モジュライ空間に自然に捉えられることの発見は予期せぬ進展であった．(φ,Γ)加群の岩澤加群からガロア表現の岩澤加群への射の構成の新たなアプローチなど他にも今後の発展を予期させる観察が得られた．
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| Strategy for Future Research Activity |
正規交叉因子に特異性を持つcrystalline p進perverse層と対応する数論的D群のコホモロジーの比較定理に関する結果については，引き続き論文を執筆する．現在では有理係数の理論しかない．これは数論的D加群の整係数の理論がないためであるが，上述の定理で用いるlog 局所系によるコホモロジーの記述は整係数でも扱える部分が多い．整理論の数論的重要性に鑑み，論文執筆と同時に整理論の確立も行う計画である．コホモロジーの次数が素数pより大きい場合の整p進コホモロジーについては，最近B. Bhatt, M.Morrow, P. Scholzeの３氏の共同研究により，幾つかの整p進コホモロジーを結びつける新たなコホモロジー論が導入された．まだ整p進エタールコホモロジーへのガロア作用を捉えるには不十分であり，定数層のみの理論であるが，今後の発展が期待される．特にその係数理論に，研究目的の一つであるp進Simpson対応と標数pのSimpson対応を結びつける理論が介在する感触を得ており，M.Morrow氏を本科研費で招聘し研究を進める計画である．また引き続きAhmed Abbes氏，Michel Gros氏とも本科研費を用いて定期的に議論する機会を持ちつつ研究を進める．Laurent Berger氏とのLubin-Tate形式群の岩澤理論の研究も継続して行うが，今後は(φ，Γ)過収束性とBeruil-Kisin加群（及びその一般化）が鍵になると考えている．これは局所体上の理論だが，上述の代数多様体上のSimpson対応の研究は，Breuil-Kisinの相対版とも言える理論が介在していると思われ，Lubin-Tate形式群の岩澤理論の研究で得てきた知識を活用していく計画である．
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Research Products
(3 results)
