2017 Fiscal Year Annual Research Report
Mirror symmetry conjecture and development of symplectic geometry
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15H02054
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
太田 啓史 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (50223839)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | シンプレクティック幾何 / 倉西構造 / フレアー理論 / 擬正則写像 / ミラー対称性予想 / 仮想基本チェイン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
倉西構造と仮想基本チェインについての基礎の整備拡張について、引き続き研究を行なった。今年度はまず一般理論Part 2の原稿を完成させアーカイブで公開した。Part 1では一つの空間に対しその上の倉西構造、good coordinate system、CF摂動の理論を完結させ仮想基本チェイを定義し、Stokes型定理およびcorrespondenceの合成公式を証明したが、Part 2では、空間のある族（系列）に対して、倉西構造、CF摂動の理論を展開した。系列の場合問題となるのはそれらの間のcompatibility conditionsを精密に書き下し構成することである。系列がlinear K-systemの場合とtree like K-systemの場合にこれを実行した。これらの幾何学的実現として、それぞれHamilton Floer theory, Lagrangian Floer theoryが含まれる。以上Part 1と Part 2をまとめて投稿した。
並行して、種数0の境界付き円盤からの擬正則写像のモジュライ空間上に角付き倉西構造を実際に構成することの詳細な証明を指数減衰評価（この証明の詳細は別の論文で既に与えている）だけを認める形で，座標変換のsmoothnessも込めて50ページ以内でself containedに与え公表し、投稿した。これは、今まで整備拡張してきた種々の概念、手法が生かされた成果である。今後の我々の仕事のみならず、多くの研究者にとって倉西構造の理論による仮想基本チェインの方法が広く使われるようになるために資する基本文献となることを期待している。
他に、ミラー対称性予想に関連して、最近興味深い進展をしているMicrolocal Geometryに関する研究会を開催するなどしてMicrolocal Geometryについての理解を深めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2016年に投稿した擬正則写像の貼り合わせの指数減衰評価に関する論文の結果は、実際に擬正則円盤のモジュライ空間に対して、倉西構造の理論、CF摂動の方法を駆使してLagrangian Floer theoryを展開する上で基礎となるものであるが、レフェリーレポートがいまだにこない点は、やや遅れている感はある。（他に、倉西構造の理論におけるgood coordinate systemのshrinkingと「モジュライ空間」のハウスドルフ性も基本的な問題とされていたが、それは既に解決済である。）しかし、これはレフェリーの問題でありいかんともし難いが、そこで止まっているわけにはいかない。その分、今年度は「研究実績の概要」の欄で述べた通り、指数減衰評価の結果のみを認めれば、モジュライ空間上にしかるべき倉西構造が実際に存在することを比較的短い議論により明確に示した。これは、ここ数年にわたり我々が取り組んできている基礎理論の整備拡張のひとつの成果の現れとして評価してよいと考える。その後の応用を展開する上で、まずは倉西構造の基礎理論を固めることが先決と考え、その点では着実に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
「現在までの進捗状況」の欄で述べた通り、まずは2016年に投稿した擬正則写像の貼り合わせの指数減衰評価に関する論文を出版することを目指さなければならない。エディターへの問い合わせはもとより、必要とあらば、読みやすくなるよう加筆改定作業をおこなう。また、基礎理論のPart 1 Part 2（全体で約450ページ）の出版の見通しもたてたい。そのために引き続き共同研究者と緊密に連携をとりながら、国際共同研究を推進していく。また、今年度は当初の研究計画通り、ミラー対称性予想とシンプレクティック幾何に関する大規模な国際研究集会を開催する予定である。現在の準備状況としては、すでに招聘状は出しており、アメリカ、ヨーロッパ、アジアから20数名の、若手の優秀な研究者からシニアの著名な研究者までほとんどの海外研究者から招聘承諾の返事をもらっている。この国際研究集会によってミラー対称性予想とシンプレクティック幾何の新しい展開と動向についてアイデア交換を行い、新しい知見が得られることを期待している。また、昨年度に引き続き、1名のポスドクを研究支援者として雇用し、ミラー対称性予想について議論し研究を推進していく予定である。
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Research Products
(7 results)
