2018 Fiscal Year Annual Research Report
The development of discrete geometric analysis
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15H02055
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
砂田 利一 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (20022741)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
楯 辰哉 東北大学, 理学研究科, 教授 (00317299)
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
赤間 陽二 東北大学, 理学研究科, 准教授 (30272454)
内藤 久資 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40211411)
阿原 一志 明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (80247147)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 準結晶 / 算術的離散集合 / 和公式 / 一般化されたリーマン和 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
準結晶の数学的理論を再構築するに当たり、互いに素な自然数のペアに関するガウスの定理（有名なガウスの数学日記に登場する定理）、及び原始的ピタゴラス数に関する漸近挙動を例として、離散集合に対する一般化されたリーマン和の研究を行った。この研究の中で、リーマン和に対する和公式の重要性が明らかになり、一般の算術的離散集合についての研究の方向性が明確になった。さらに、ピタゴラス数と同様な重要性を有するアイゼンシュタイン数の漸近挙動についての研究も行った。ガウスの定理、ピタゴラス数、アイゼンシュタイン数について共通して言えるのは、包含排除の原理の有効性である。恐らく、1次の合同方程式で定義される算術的離散集合に対しても、何らかの形で包含排除の原理が適用されるものと期待される。
準結晶に関しては、現時点では確定した定義は存在しない。例としては、カットと射影による準結晶と、結晶構造の非通約的摂動で構成される準結晶が知られているが、本研究では、上記の算術的離散集合が準結晶の「仲間」と考える。その理由は、一般化されたポアソンの和公式が成立するからである。一般の算術的離散集合も、リーマン和に対する和公式と古典的なポアソンの和公式を適用して、準結晶と考えられるのではないかと期待される。
このように、本研究は、歴史上重要な意義を有する例を準結晶という物質科学に登場する概念を結びつける出発点を与えている。
この研究に付随する形で、本研究がよって立つところに目をむけ、広い意味での幾何学の歴史についても考察を進めた。
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| Research Progress Status |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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Research Products
(5 results)
