2017 Fiscal Year Annual Research Report
偏微分方程式における漸近解析と形状解析の融合と革新
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15H02058
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
川上 竜樹 龍谷大学, 理工学部, 准教授 (20546147)
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973)
小池 茂昭 東北大学, 理学研究科, 教授 (90205295)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 漸近解析 / 形状解析 / 非線形問題 / 拡散方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
拡散方程式の解の漸近解析と形状解性を用い、非線形境界条件付き熱方程式の解の初期トレースの特徴付け、ポテンシャル項付熱方程式の解の漸近解析と最大点挙動、フィンスラー熱方程式の解の定性的性質と可解性等の研究を行った。
(1) 非線形境界条件付き熱方程式：石毛の指導学生である比佐幸太郎氏と共に、半空間における非線形境界条件付き熱方程式の解の初期トレースの存在と一意性、さらにその性質について研究を行った。この研究により、初期トレースが許容できる特異性の強さは非線形性に依存し、また、その大きさは境界からの距離によって決定されることが明らかになった。この研究は、半空間における非線形境界条件付き熱方程式に対して、初期関数の挙動と解の最大存在時間との関係について詳細な解析を可能にする。
(2) ポテンシャル項付熱方程式：石毛の指導学生である向井晨人氏と共に、ポテンシャル項付熱方程式を重み付き熱方程式に変換し、その重み付き熱方程式に相似変換を施すことによって、劣臨界及び零臨界シュレーディンガー作用素を同時に適応可能とする新しい漸近解析手法を開発した。この研究の進展に基づき、壁谷喜継氏 (大阪府立大) を加えてポテンシャル項付熱方程式の解の最大点挙動について包括的研究を行い、最大点挙動と正値調和関数挙動の強い相関性を明らかにした。
(3) フィンスラー熱方程式：赤木剛朗氏 (東北大学)、佐藤龍一氏 (東北大学) と共に、フィンスラー・ラプラス作用素の定性的性質およびフィンスラー熱方程式の解の可解性について研究を行った．本研究では、フィンスラー・ラプラス作用素がある種の対称性をもつ函数族に対して線形作用素として作用すること、局所可積分かつ空間無限大で指数的増大する初期値関数に対して フィンスラー熱方程式が時間局所解を持つことを証明し、解の存在時間に関する最適評価を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
解の形状解析、漸近解析の融合により、非線形境界条件付き熱方程式の解の初期トレースの特徴付け、ポテンシャル項付熱方程式の解の漸近解析と最大点挙動、フィンスラー熱方程式の解の定性的性質と可解性等の研究成果を得ている。これらの研究は今後の研究の土台となるべきものであり、今後の進展が強く期待される。また、関連分野の国内外の研究集会や研究者セミナーを開催し、研究打ち合わせ等の研究交流も行っており、順調に研究が進んでいると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
当該研究課題にて得た研究成果を元に、議論を進展させ、漸近解析および形状解析の融合と新たな解析技法の確立を目指す。また、国際研究集会等を開催し、関連分野の研究交流を促進させていく。
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Research Products
(16 results)
